Analysis Beispiele

$(4 t e^{2 x}) d y = y e^{2 x} d x$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{2 x} y}$ .

$\frac{1}{e^{2 x} y} (4 t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \frac{1}{e^{2 x} y} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{e^{2 x} y}$ .

$\frac{4}{e^{2 x} y} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x}$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} y$ heraus.

$\frac{4}{e^{2 x} (y)} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Schritt 2.3.2

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $t e^{2 x}$ heraus.

$\frac{4}{e^{2 x} (y)} (e^{2 x} t) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{e^{2 x} y} (e^{2 x} t) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Schritt 2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{y} t d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{4}{y}$ und $t$ .

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y e^{2 x}$ .

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $y e^{2 x}$ aus $e^{2 x} y$ heraus.

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{y e^{2 x} (1)} (y e^{2 x}) d x$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{y e^{2 x} \cdot 1} (y e^{2 x}) d x$

Schritt 2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 t}{y} d y = 1 d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{4 t}{y} d y = \int d x$

Schritt 3.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Da $4 t$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4 t$ aus dem Integral.

$4 t \int \frac{1}{y} d y = \int d x$

Schritt 3.2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$4 t (\ln (| y |) + C_{1}) = \int d x$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

$4 t \ln (| y |) + C_{1} = \int d x$

Schritt 3.3

Wende die Konstantenregel an.

$4 t \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$4 t \ln (| y |) = x + C$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 t \ln (| y |) = x + C$ durch $4 t$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 t \ln (| y |) = x + C$ durch $4 t$ .

$\frac{4 t \ln (| y |)}{4 t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 t \ln (| y |)}{4 t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Schritt 4.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t \ln (| y |)}{t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t \ln (| y |)}{t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Schritt 4.1.2.2.2

Dividiere $\ln (| y |)$ durch $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Schritt 4.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$

Schritt 4.3

Schreibe $\ln (| y |) = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}} = | y |$

Schritt 4.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.4.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$ um.

$| y | = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$

Schritt 4.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$