Analysis Beispiele

$d x + (x - y + 6) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x - y + 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - y + 6]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.4

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.5

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + 0$

Schritt 2.6

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $0$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$0 = 1$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$0 = 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $1$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $0$ .

$\frac{1 + 0}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $1$ .

$\frac{1 + 0}{1}$

Schritt 4.3.2

Dividiere $1 + 0$ durch $1$ .

$1 + 0$

Schritt 4.3.3

Ersetze $M$ durch $1$ .

$1$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende die Konstantenregel an.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

Schritt 6

Mutltipliziere $1$ mit $e^{y}$ .

$d x + (x - y + 6) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{y} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = e^{y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = e^{y} x + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = e^{y} x + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x + g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{y} x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [e^{y} x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $e^{y} x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ gleich $a^{y} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x e^{y} + \frac{d g}{d y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Schritt 11.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d y} + e^{y} x$ um.

$\frac{d g}{d y} + x e^{y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Subtrahiere $x e^{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y} - x e^{y}$

Schritt 12.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y} - x e^{y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.2.1

Subtrahiere $x e^{y}$ von $x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y} + 0$

Schritt 12.1.2.2

Addiere $- y e^{y} + 6 e^{y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $- y e^{y} + 6 e^{y}$ , um $g (y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{y} + 6 e^{y} d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{y} + 6 e^{y} d y$

Schritt 13.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (y) = \int - y e^{y} d y + \int 6 e^{y} d y$

Schritt 13.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - \int y e^{y} d y + \int 6 e^{y} d y$

Schritt 13.5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y$ und $d v = e^{y}$ .

$g (y) = - (y e^{y} - \int e^{y} d y) + \int 6 e^{y} d y$

Schritt 13.6

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + \int 6 e^{y} d y$

Schritt 13.7

Da $6$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + 6 \int e^{y} d y$

Schritt 13.8

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + 6 (e^{y} + C)$

Schritt 13.9

Vereinfache.

$g (y) = - y e^{y} + e^{y} + 6 e^{y} + C$

Schritt 13.10

Addiere $e^{y}$ und $6 e^{y}$ .

$g (y) = - y e^{y} + 7 e^{y} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = e^{y} x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = e^{y} x - y e^{y} + 7 e^{y} + C$

Schritt 15

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = e^{y} x - y e^{y} + 7 e^{y} + C$ um.

$f (x, y) = x e^{y} - y e^{y} + 7 e^{y} + C$