Analysis Beispiele

$x y \frac{d y}{d x} = x^{2} - y^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x y \frac{d y}{d x} = x^{2} - y^{2}$ durch $x y$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x y \frac{d y}{d x} = x^{2} - y^{2}$ durch $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.1.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.1.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (y)} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 1.1.3.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (- y)}{x y}$

Schritt 1.1.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.1.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (- y)}{y x}$

Schritt 1.1.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (- y)}{y x}$

Schritt 1.1.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{x}$

Schritt 1.1.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - \frac{y}{x}$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{x}{y}$ als ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} - \frac{y}{x}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{- 1} - V$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 1} - V$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{V} - V$

Schritt 6.1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - V - V$

Schritt 6.1.1.2.2

Subtrahiere $V$ von $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 2 V$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 2 V$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 2 V$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.3.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{- 2 V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{2 V}{x}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.1.2.1

Um $- \frac{2 V}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{2 V}{x} \cdot \frac{V}{V}$

Schritt 6.1.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $V x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{2 V}{x}$ mit $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{2 V \cdot V}{x V}$

Schritt 6.1.2.2.2

Stelle die Faktoren von $x V$ um.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{2 V \cdot V}{V x}$

Schritt 6.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - 2 V \cdot V}{V x}$

Schritt 6.1.2.4

Multipliziere $V$ mit $V$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.2.4.1

Bewege $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - 2 (V \cdot V)}{V x}$

Schritt 6.1.2.4.2

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - 2 V^{2}}{V x}$

Schritt 6.1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - 2 V^{2}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{V}{1 - 2 V^{2}}$ .

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - 2 V^{2}} (\frac{1 - 2 V^{2}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.5

Vereinfache.

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Schritt 6.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{1 - 2 V^{2}}{V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - 2 V^{2}} \cdot \frac{1 - 2 V^{2}}{V x}$

Schritt 6.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V$ .

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Schritt 6.1.5.2.1

Faktorisiere $V$ aus $V x$ heraus.

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - 2 V^{2}} \cdot \frac{1 - 2 V^{2}}{V (x)}$

Schritt 6.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - 2 V^{2}} \cdot \frac{1 - 2 V^{2}}{V x}$

Schritt 6.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - 2 V^{2}} \cdot \frac{1 - 2 V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - 2 V^{2}$ .

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Schritt 6.1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - 2 V^{2}} \cdot \frac{1 - 2 V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{V}{1 - 2 V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Sei $u = 1 - 2 V^{2}$ . Dann ist $d u = - 4 V d V$ , folglich $- \frac{1}{4} d u = V d V$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Es sei $u = 1 - 2 V^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Differenziere $1 - 2 V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [1 - 2 V^{2}]$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 6.2.2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 V^{2}$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- 2 V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- 2 V^{2}]$

Schritt 6.2.2.1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- 2 V^{2}]$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d V} [- 2 V^{2}]$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $- 2 V^{2}$ nach $V$ gleich $- 2 \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Schritt 6.2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 2 (2 V)$

Schritt 6.2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$0 - 4 V$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Subtrahiere $4 V$ von $0$ .

$- 4 V$

Schritt 6.2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{4}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int - \frac{1}{4 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{4 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Vereinfache.

$- \frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $1 - 2 V^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 2 V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 2 V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 2 V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 4$ .

$- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 2 V^{2} |)) = - 4 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1.1

Vereinfache $- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 2 V^{2} |))$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Kombiniere $\ln (| 1 - 2 V^{2} |)$ und $\frac{1}{4}$ .

$- 4 (- \frac{\ln (| 1 - 2 V^{2} |)}{4}) = - 4 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| 1 - 2 V^{2} |)}{4}$ in den Zähler.

$- 4 \frac{- \ln (| 1 - 2 V^{2} |)}{4} = - 4 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$4 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 2 V^{2} |)}{4} = - 4 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 2 V^{2} |)}{4} = - 4 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \ln (| 1 - 2 V^{2} |) = - 4 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 6.3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 2 V^{2} |) = - 4 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $\ln (| 1 - 2 V^{2} |)$ mit $1$ .

$\ln (| 1 - 2 V^{2} |) = - 4 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 - 2 V^{2} |) = - 4 \ln (| x |) - 4 C$

Schritt 6.3.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 1 - 2 V^{2} |) + 4 \ln (| x |) = - 4 C$

Schritt 6.3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.4.1

Vereinfache $\ln (| 1 - 2 V^{2} |) + 4 \ln (| x |)$ .

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Schritt 6.3.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.4.1.1.1

Vereinfache $4 \ln (| x |)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| 1 - 2 V^{2} |) + \ln ({| x |}^{4}) = - 4 C$

Schritt 6.3.4.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{4}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| 1 - 2 V^{2} |) + \ln (x^{4}) = - 4 C$

Schritt 6.3.4.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - 2 V^{2} | x^{4}) = - 4 C$

Schritt 6.3.4.1.3

Stelle die Faktoren in $\ln (| 1 - 2 V^{2} | x^{4})$ um.

$\ln (x^{4} | 1 - 2 V^{2} |) = - 4 C$

Schritt 6.3.5

Um nach $V$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{4} | 1 - 2 V^{2} |)} = e^{- 4 C}$

Schritt 6.3.6

Schreibe $\ln (x^{4} | 1 - 2 V^{2} |) = - 4 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 4 C} = x^{4} | 1 - 2 V^{2} |$

Schritt 6.3.7

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.7.1

Schreibe die Gleichung als $x^{4} | 1 - 2 V^{2} | = e^{- 4 C}$ um.

$x^{4} | 1 - 2 V^{2} | = e^{- 4 C}$

Schritt 6.3.7.2

Teile jeden Ausdruck in $x^{4} | 1 - 2 V^{2} | = e^{- 4 C}$ durch $x^{4}$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{4} | 1 - 2 V^{2} | = e^{- 4 C}$ durch $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} | 1 - 2 V^{2} |}{x^{4}} = \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}$

Schritt 6.3.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 6.3.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{4} | 1 - 2 V^{2} |}{x^{4}} = \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}$

Schritt 6.3.7.2.2.1.2

Dividiere $| 1 - 2 V^{2} |$ durch $1$ .

$| 1 - 2 V^{2} | = \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}$

Schritt 6.3.7.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 - 2 V^{2} = \pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}$

Schritt 6.3.7.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 V^{2} = \pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} - 1$

Schritt 6.3.7.5

Teile jeden Ausdruck in $- 2 V^{2} = \pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.7.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 V^{2} = \pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 V^{2}}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.3.7.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.7.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 6.3.7.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 V^{2}}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.3.7.5.2.1.2

Dividiere $V^{2}$ durch $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.3.7.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.7.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.7.5.3.1.1

Vereinfache $\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{- 2}$ .

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{2} + \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.3.7.5.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.7.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{2} + \frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.7.7

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{2} + \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.3.7.7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1}{2}}$

Schritt 6.3.7.7.2

Schreibe $\sqrt{\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1}}{\sqrt{2}}$ um.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.3.7.7.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.3.7.7.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.7.7.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 6.3.7.7.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 6.3.7.7.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 6.3.7.7.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.7.7.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 6.3.7.7.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.3.7.7.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.7.7.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.7.7.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.7.7.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.7.7.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.7.7.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 6.3.7.7.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.3.7.7.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1) \cdot 2}}{2}$

Schritt 6.3.7.7.6

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1) \cdot 2}}{2}$ um.

$V = \pm \frac{\sqrt{2 (\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1)}}{2}$

Schritt 6.4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \pm \frac{\sqrt{2 (\pm \frac{C}{x^{4}} + 1)}}{2}$

Schritt 6.4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$V = \pm \frac{\sqrt{2 (C \frac{1}{x^{4}} + 1)}}{2}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{2 (C \frac{1}{x^{4}} + 1)}}{2}$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{2 (C \frac{1}{x^{4}} + 1)}}{2}$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) + 1)}}{2}) x$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) + 1)}}{2}) x$

Schritt 8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) + 1)}}{2}) x$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache $(\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) + 1)}}{2}) x$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.1.1.1

Kombiniere $C$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (\frac{C}{x^{4}} + 1)}}{2}) x$

Schritt 8.2.2.1.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (\frac{C}{x^{4}} + \frac{x^{4}}{x^{4}})}}{2}) x$

Schritt 8.2.2.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 \frac{C + x^{4}}{x^{4}}}}{2}) x$

Schritt 8.2.2.1.1.4

Kombiniere $2$ und $\frac{C + x^{4}}{x^{4}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{\frac{2 (C + x^{4})}{x^{4}}}}{2}) x$

Schritt 8.2.2.1.1.5

Schreibe $\frac{2 (C + x^{4})}{x^{4}}$ als ${(\frac{1}{x^{2}})}^{2} (2 (C + x^{4}))$ um.

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Schritt 8.2.2.1.1.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $2 (C + x^{4})$ heraus.

$y = (\pm \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (2 (C + x^{4}))}{x^{4}}}}{2}) x$

Schritt 8.2.2.1.1.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(x^{2})}^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$y = (\pm \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (2 (C + x^{4}))}{{(x^{2})}^{2} \cdot 1}}}{2}) x$

Schritt 8.2.2.1.1.5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (2 (C + x^{4}))}{{(x^{2})}^{2} \cdot 1}$ um.

$y = (\pm \frac{\sqrt{{(\frac{1}{x^{2}})}^{2} (2 (C + x^{4}))}}{2}) x$

Schritt 8.2.2.1.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = (\pm \frac{\frac{1}{x^{2}} \sqrt{2 (C + x^{4})}}{2}) x$

Schritt 8.2.2.1.1.7

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $\sqrt{2 (C + x^{4})}$ .

$y = (\pm \frac{\frac{\sqrt{2 (C + x^{4})}}{x^{2}}}{2}) x$

Schritt 8.2.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C + x^{4})}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2}) x$

Schritt 8.2.2.1.3

Kombinieren.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C + x^{4})} \cdot 1}{x^{2} \cdot 2}) x$

Schritt 8.2.2.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.2.1.4.1

Mutltipliziere $\sqrt{2 (C + x^{4})}$ mit $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C + x^{4})}}{x^{2} \cdot 2}) x$

Schritt 8.2.2.1.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C + x^{4})}}{2 x^{2}}) x$