Analysis Beispiele

$(3 x^{2} y^{3} + y^{4}) d x + (3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 3 x^{2} y^{3} + y^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3} + y^{4}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} y^{3} + y^{4}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $3 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} y^{3}$ nach $y$ gleich $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 9 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 9 x^{2} y^{2} + 4 y^{3}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3} y^{2}$ nach $x$ gleich $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$

Schritt 2.4

Da $y^{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{4}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 y^{2} x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Da $4 y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x y^{3}$ nach $x$ gleich $4 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 y^{2} x^{2} + 0 + 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 y^{2} x^{2} + 0 + 4 y^{3} \cdot 1$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 y^{2} x^{2} + 0 + 4 y^{3}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Addiere $9 y^{2} x^{2}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 y^{2} x^{2} + 4 y^{3}$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2} = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2} = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{3} + y^{4} d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = 3 x^{2} y^{3} + y^{4}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{3} d x + \int y^{4} d x$

Schritt 5.2

Da $3 y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3 y^{3}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 y^{3} \int x^{2} d x + \int y^{4} d x$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y^{4} d x$

Schritt 5.4

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = 3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{4} x + C$

Schritt 5.5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y^{3} (\frac{x^{3}}{3} + C) + y^{4} x + C$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + y^{4} x + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + y^{4} x + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3} + y^{4} x + g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} x^{3} + y^{4} x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Da $x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{3} x^{3}$ nach $y$ gleich $x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{3} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Schritt 8.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$3 x^{3} y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Schritt 8.4

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{4} x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{4} x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$3 x^{3} y^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Schritt 8.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$3 x^{3} y^{2} + x (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Schritt 8.4.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 x^{3} y^{2} + 4 x y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$3 x^{3} y^{2} + 4 x y^{3} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Schritt 8.6

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{3} y^{2} + 4 y^{3} x = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Subtrahiere $3 x^{3} y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + 4 y^{3} x = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3} - 3 x^{3} y^{2}$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $4 y^{3} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3} - 3 x^{3} y^{2} - 4 y^{3} x$

Schritt 9.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3} - 3 x^{3} y^{2} - 4 y^{3} x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.3.1

Subtrahiere $3 x^{3} y^{2}$ von $3 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{4} + 4 x y^{3} + 0 - 4 y^{3} x$

Schritt 9.1.3.2

Addiere $y^{4} + 4 x y^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{4} + 4 x y^{3} - 4 y^{3} x$

Schritt 9.1.3.3

Ordne die Faktoren in den Termen $4 x y^{3}$ und $- 4 y^{3} x$ neu an.

$\frac{d g}{d y} = y^{4} + 4 y^{3} x - 4 y^{3} x$

Schritt 9.1.3.4

Subtrahiere $4 y^{3} x$ von $4 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{4} + 0$

Schritt 9.1.3.5

Addiere $y^{4}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{4}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $y^{4}$ , um $g (y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = y^{4}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{4} d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{4} d y$

Schritt 10.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{4}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$g (y) = \frac{1}{5} y^{5} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y^{3} x^{3} + y^{4} x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + y^{4} x + \frac{1}{5} y^{5} + C$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $y^{5}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + y^{4} x + \frac{y^{5}}{5} + C$