Analysis Beispiele

$(y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) d x + (\tan (x) + 2 y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d y} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d y} [\sec (x) \tan (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y \sec^{2} (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $\sec^{2} (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y \sec^{2} (x)$ nach $y$ gleich $\sec^{2} (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sec^{2} (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\sec (x) \tan (x)]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\sec (x) \tan (x)]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $\sec^{2} (x)$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sec^{2} (x) + \frac{d}{d y} [\sec (x) \tan (x)]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $\sec (x) \tan (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\sec (x) \tan (x)$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sec^{2} (x) + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $\sec^{2} (x)$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sec^{2} (x)$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = \tan (x) + 2 y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\tan (x) + 2 y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan (x) + 2 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \sec^{2} (x) + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $\sec^{2} (x)$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \sec^{2} (x)$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $\sec^{2} (x)$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $\sec^{2} (x)$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$\sec^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sec^{2} (x) = \sec^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \tan (x) + 2 y d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = \tan (x) + 2 y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int \tan (x) d y + \int 2 y d y$

Schritt 5.2

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \tan (x) y + C + \int 2 y d y$

Schritt 5.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \tan (x) y + C + 2 \int y d y$

Schritt 5.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \tan (x) y + C + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$f (x, y) = \tan (x) y + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \tan (x) y + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Schritt 5.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \tan (x) y + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Schritt 5.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \tan (x) y + 1 y^{2} + C$

Schritt 5.6.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$f (x, y) = \tan (x) y + y^{2} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \tan (x) y + y^{2} + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x) y + y^{2} + g (x)] = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan (x) y + y^{2} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\tan (x) y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x) y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\tan (x) y]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\tan (x) y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$

Schritt 8.3.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$y \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$

Schritt 8.4

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y \sec^{2} (x) + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y \sec^{2} (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$

Schritt 8.6

Vereinfache.

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Schritt 8.6.1

Addiere $y \sec^{2} (x)$ und $0$ .

$y \sec^{2} (x) + \frac{d g}{d x} = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$

Schritt 8.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + y \sec^{2} (x) = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $y \sec^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) - y \sec^{2} (x)$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) - y \sec^{2} (x)$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $y \sec^{2} (x)$ von $y \sec^{2} (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = \sec (x) \tan (x) + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $\sec (x) \tan (x)$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \sec (x) \tan (x)$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $\sec (x) \tan (x)$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = \sec (x) \tan (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 10.3

Da die Ableitung von $\sec (x)$ gleich $\sec (x) \tan (x)$ ist, ist das Integral von $\sec (x) \tan (x)$ gleich $\sec (x)$ .

$g (x) = \sec (x) + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \tan (x) y + y^{2} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \tan (x) y + y^{2} + \sec (x) + C$

Schritt 12

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = \tan (x) y + y^{2} + \sec (x) + C$ um.

$f (x, y) = y \tan (x) + y^{2} + \sec (x) + C$