Analysis Beispiele

$\frac{d u}{d t} = \frac{(2 + t^{4})}{u t^{2} + u^{4} t^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $u t^{2}$ aus $u t^{2} + u^{4} t^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $u t^{2}$ aus $u t^{2}$ heraus.

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} (1) + u^{4} t^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $u t^{2}$ aus $u^{4} t^{2}$ heraus.

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} (1) + u t^{2} (u^{3})}$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $u t^{2}$ aus $u t^{2} (1) + u t^{2} (u^{3})$ heraus.

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} (1 + u^{3})}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} (1^{3} + u^{3})}$

Schritt 1.1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = u$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1^{2} - 1 u + u^{2}))}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.4.1

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1 - 1 u + u^{2}))}$

Schritt 1.1.4.1.2

Schreibe $- 1 u$ als $- u$ um.

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1 - u + u^{2}))}$

Schritt 1.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $u (1 + u) (1 - u + u^{2})$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{2}) (1 - u + u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Schritt 1.4.4

Multipliziere $(u + u^{2}) (1 - u + u^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u \cdot u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u) + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Schritt 1.4.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $u \cdot 1 + u (- u) + u \cdot u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u) + u^{2} u^{2}$ .

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Schritt 1.4.5.1

Ordne die Faktoren in den Termen $u \cdot u^{2}$ und $u^{2} (- u)$ neu an.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} u + u^{2} \cdot 1 - u^{2} u + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Schritt 1.4.5.2

Subtrahiere $u^{2} u$ von $u^{2} u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + 0 + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Schritt 1.4.5.3

Addiere $u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1$ und $0$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Schritt 1.4.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.6.1

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Schritt 1.4.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u \cdot u + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Schritt 1.4.6.3

Multipliziere $u$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.6.3.1

Bewege $u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - (u \cdot u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Schritt 1.4.6.3.2

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Schritt 1.4.6.4

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Schritt 1.4.6.5

Multipliziere $u^{2}$ mit $u^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.6.5.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{2 + 2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Schritt 1.4.6.5.2

Addiere $2$ und $2$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{4}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Schritt 1.4.7

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $u - u^{2} + u^{2} + u^{4}$ .

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Schritt 1.4.7.1

Addiere $- u^{2}$ und $u^{2}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + 0 + u^{4}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Schritt 1.4.7.2

Addiere $u$ und $0$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Schritt 1.4.8

Mutltipliziere $\frac{2 + t^{4}}{t^{2}}$ mit $\frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) \frac{2 + t^{4}}{t^{2} (u (1 + u) (1 - u + u^{2}))}$

Schritt 1.4.9

Entferne die Klammern.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) \frac{2 + t^{4}}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Schritt 1.4.10

Mutltipliziere $u + u^{4}$ mit $\frac{2 + t^{4}}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u + u^{4}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Schritt 1.4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.11.1

Faktorisiere $u$ aus $u + u^{4}$ heraus.

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Schritt 1.4.11.1.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u^{1} + u^{4}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Schritt 1.4.11.1.2

Faktorisiere $u$ aus $u^{1}$ heraus.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u \cdot 1 + u^{4}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Schritt 1.4.11.1.3

Faktorisiere $u$ aus $u^{4}$ heraus.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u \cdot 1 + u \cdot u^{3}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Schritt 1.4.11.1.4

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 1 + u \cdot u^{3}$ heraus.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u^{3}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Schritt 1.4.11.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1^{3} + u^{3}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Schritt 1.4.11.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1^{2} - 1 u + u^{2})) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Schritt 1.4.11.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.11.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1 - 1 u + u^{2})) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Schritt 1.4.11.4.2

Schreibe $- 1 u$ als $- u$ um.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1 - u + u^{2})) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Schritt 1.4.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 1.4.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Schritt 1.4.12.2

Forme den Ausdruck um.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{((1 + u) (1 - u + u^{2})) (2 + t^{4})}{(t^{2} (1 + u)) (1 - u + u^{2})}$

Schritt 1.4.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + u$ .

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Schritt 1.4.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 + u) (1 - u + u^{2}) (2 + t^{4})}{t^{2} (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Schritt 1.4.13.2

Forme den Ausdruck um.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 - u + u^{2}) (2 + t^{4})}{(t^{2}) (1 - u + u^{2})}$

Schritt 1.4.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - u + u^{2}$ .

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Schritt 1.4.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 - u + u^{2}) (2 + t^{4})}{t^{2} (1 - u + u^{2})}$

Schritt 1.4.14.2

Forme den Ausdruck um.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{t^{2}}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) d u = \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int u (1 + u) (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u \cdot 1 + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u \cdot 1 (1 - u + u^{2}) + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u \cdot 1 (1 - u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.7

Stelle $u$ und $1$ um.

$\int 1 \cdot u \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.8

Bewege $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.9

Stelle $u$ und $1$ um.

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot u (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.10

Bewege $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.11

Stelle $u$ und $1$ um.

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.12

Bewege $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + u \cdot 1 u + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.13

Stelle $u$ und $1$ um.

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.14

Bewege $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.15

Stelle $u$ und $- 1$ um.

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.16

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.17

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$\int u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int u - u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.19

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int u - (u \cdot u) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.20

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u - (u^{1} u) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.21

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u - (u^{1} u^{1}) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.22

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u - u^{1 + 1} + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.23

Addiere $1$ und $1$ .

$\int u - u^{2} + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.24

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$\int u - u^{2} + u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.25

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{1} u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.26

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u - u^{2} + u^{1 + 2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.27

Addiere $1$ und $2$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.28

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.29

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1} u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.30

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1} u^{1} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.31

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1 + 1} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.32

Addiere $1$ und $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.33

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u \cdot u) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.34

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{1} u) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.35

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{1} u^{1}) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.36

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{1 + 1} u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.37

Addiere $1$ und $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{2} u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.38

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{2} u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.39

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{2} u^{1}) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.40

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{2 + 1} + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.41

Addiere $2$ und $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.42

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1} u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.43

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1} u^{1} u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.44

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1 + 1} u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.45

Addiere $1$ und $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{2} u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.46

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{2 + 2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.47

Addiere $2$ und $2$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.48

Stelle $u$ und $- u^{2}$ um.

$\int - u^{2} + u + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.49

Bewege $u$ .

$\int - u^{2} + u^{3} + u + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.50

Stelle $- u^{2}$ und $u^{3}$ um.

$\int u^{3} - u^{2} + u + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.51

Stelle $u^{2}$ und $- u^{3}$ um.

$\int u^{3} - u^{2} + u - u^{3} + u^{2} + u^{4} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.52

Bewege $u^{2}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u - u^{3} + u^{4} + u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.53

Stelle $- u^{3}$ und $u^{4}$ um.

$\int u^{3} - u^{2} + u + u^{4} - u^{3} + u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.54

Bewege $u$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u^{4} - u^{3} + u^{2} + u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.55

Bewege $- u^{2}$ .

$\int u^{3} + u^{4} - u^{3} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.56

Stelle $u^{3}$ und $u^{4}$ um.

$\int u^{4} + u^{3} - u^{3} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.57

Subtrahiere $u^{3}$ von $u^{3}$ .

$\int u^{4} + 0 + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.58

Addiere $u^{4}$ und $0$ .

$\int u^{4} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.59

Subtrahiere $u^{2}$ von $u^{2}$ .

$\int u^{4} + 0 + u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.60

Addiere $u^{4}$ und $0$ .

$\int u^{4} + u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{4} d u + \int u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C_{1} + \int u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C_{1} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{2} = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.1.1

Bringe $t^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (2 + t^{4}) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (2 + t^{4}) t^{2 \cdot - 1} d t$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (2 + t^{4}) t^{- 2} d t$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $(2 + t^{4}) t^{- 2}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 2 t^{- 2} + t^{4} t^{- 2} d t$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $t^{4}$ mit $t^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 2 t^{- 2} + t^{4 - 2} d t$

Schritt 2.3.3.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 2 t^{- 2} + t^{2} d t$

Schritt 2.3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 2 t^{- 2} d t + \int t^{2} d t$

Schritt 2.3.5

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 2 \int t^{- 2} d t + \int t^{2} d t$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- 2}$ nach $t$ gleich $- t^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 2 (- t^{- 1} + C_{4}) + \int t^{2} d t$

Schritt 2.3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 2 (- t^{- 1} + C_{4}) + \frac{1}{3} t^{3} + C_{5}$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.1

Vereinfache.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 2 (- \frac{1}{t}) + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

Schritt 2.3.8.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = - 2 \frac{1}{t} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

Schritt 2.3.8.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{t}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \frac{- 2}{t} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

Schritt 2.3.8.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = - \frac{2}{t} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

Schritt 2.3.9

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \frac{1}{3} t^{3} - \frac{2}{t} + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} = \frac{1}{3} t^{3} - \frac{2}{t} + K$