Analysis Beispiele

$(1 + x^{2}) d y - 2 x (y d) x = 0$

Schritt 1

Addiere $2 x y d x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$(1 + x^{2}) d y = 2 x y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (2 x y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus $(1 + x^{2}) y$ heraus.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (2 x y) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (2 x y) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (2 x y) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} d y = 2 \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Schritt 3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $y$ aus $(1 + x^{2}) y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (1 + x^{2})} (x y) d x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Schritt 3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{1 + x^{2}} x d x$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{2}{1 + x^{2}}$ und $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2

Sei $u = 1 + x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.2.1

Es sei $u = 1 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Differenziere $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3.2.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 4.3.2.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 4.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 4.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

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Schritt 4.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.5.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u} d u$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 4.3.7

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |) = C$

Schritt 5.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = C$

Schritt 5.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |})} = e^{C}$

Schritt 5.4

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}$

Schritt 5.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{C}$ um.

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{C}$

Schritt 5.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $| 1 + x^{2} |$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{C} | 1 + x^{2} |$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| 1 + x^{2} |$ .

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Schritt 5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{C} | 1 + x^{2} |$

Schritt 5.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} |$

Schritt 5.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{C} | 1 + x^{2} |$ um.

$| y | = | 1 + x^{2} | e^{C}$

Schritt 5.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x^{2} | e^{C}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm | 1 + x^{2} | C$

Schritt 6.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C | 1 + x^{2} |$