Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 2 x^{4}$ , $y (2) = 8$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} - 2 y = 2 x^{4}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{4}}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{4}}{x}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{4}}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}}$

Schritt 1.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{1}$

Schritt 1.3.2.5

Dividiere $2 x^{3}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = 2 x^{3}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $y$ aus $\frac{- 2 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = 2 x^{3}$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $\frac{- 2}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 2 x^{3}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{- 2}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{- 2}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 2.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 2}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 y}{x}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Schritt 3.2.5.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.5.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.5.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Schritt 3.2.5.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Schritt 3.2.5.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 2 \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Schritt 3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} x^{3}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x)$

Schritt 3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x)$

Schritt 3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 2 x$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = 2 x$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int 2 x d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int 2 x d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x^{2}} y = 2 \int x d x$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 7.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$\frac{1}{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 7.3.2

Vereinfache.

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Schritt 7.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Schritt 7.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{2}} y = 1 x^{2} + C$

Schritt 7.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x^{2} + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = x^{2} + C$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x^{2} + C) x^{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x^{2} + C) x^{2}$

Schritt 8.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (x^{2} + C) x^{2}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Vereinfache $(x^{2} + C) x^{2}$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x^{2} x^{2} + C x^{2}$

Schritt 8.3.2.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.3.2.1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = x^{2 + 2} + C x^{2}$

Schritt 8.3.2.1.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$y = x^{4} + C x^{2}$

Schritt 9

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $2$ für $x$ und $8$ für $y$ in $y = x^{4} + C x^{2}$ ersetzt wird.

$8 = 2^{4} + C \cdot 2^{2}$

Schritt 10

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $2^{4} + C \cdot 2^{2} = 8$ um.

$2^{4} + C \cdot 2^{2} = 8$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$16 + C \cdot 2^{2} = 8$

Schritt 10.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$16 + C \cdot 4 = 8$

Schritt 10.2.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $C$ .

$16 + 4 C = 8$

Schritt 10.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.3.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 C = 8 - 16$

Schritt 10.3.2

Subtrahiere $16$ von $8$ .

$4 C = - 8$

Schritt 10.4

Teile jeden Ausdruck in $4 C = - 8$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 10.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 C = - 8$ durch $4$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 8}{4}$

Schritt 10.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 8}{4}$

Schritt 10.4.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{- 8}{4}$

Schritt 10.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.4.3.1

Dividiere $- 8$ durch $4$ .

$C = - 2$

Schritt 11

Setze $- 2$ für $C$ in $y = x^{4} + C x^{2}$ ein und vereinfache.

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Schritt 11.1

Ersetze $C$ durch $- 2$ .

$y = x^{4} - 2 x^{2}$