Analysis Beispiele

$(1 + x^{3}) d y = 3 x^{2} (y d) x$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(1 + x^{3}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{3}$ .

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $1 + x^{3}$ aus $(1 + x^{3}) y$ heraus.

$\frac{1}{(1 + x^{3}) (y)} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Schritt 2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Schritt 2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1^{3} + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Schritt 2.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Schritt 2.4

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $y$ aus $(1 + x) (1 - x + x^{2}) y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (x^{2} y) d x$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

Schritt 2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

Schritt 2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} x^{2} d x$

Schritt 2.6

Kombiniere $\frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Schritt 3.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Schritt 3.3.2

Sei $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.3.2.1

Es sei $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Differenziere $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x + x^{2})]$

Schritt 3.3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 + x$ und $g (x) = 1 - x + x^{2}$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x + x^{2}] + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 3.3.2.1.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.2.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 3.3.2.1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 3.3.2.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 3.3.2.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 3.3.2.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 3.3.2.1.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(1 + x) (- 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 3.3.2.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 3.3.2.1.3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.2.1.3.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.2.1.3.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2.1.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \cdot 1$

Schritt 3.3.2.1.3.12

Mutltipliziere $1 - x + x^{2}$ mit $1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.4

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.2.1.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.4.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 1 - 1 \cdot x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.4.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- 1 - x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 1 - x + 2 x + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.4.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.4.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 - x + x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.4.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.4.9

Addiere $- x$ und $2 x$ .

$- 1 + x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.4.10

Addiere $- 1$ und $1$ .

$x + 2 x^{2} + 0 - x + x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.4.11

Addiere $x + 2 x^{2}$ und $0$ .

$x + 2 x^{2} - x + x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.4.12

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$2 x^{2} + 0 + x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.4.13

Addiere $2 x^{2}$ und $0$ .

$2 x^{2} + x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.4.14

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 3.3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Schritt 3.3.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{3 u} d u$

Schritt 3.3.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 3.3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 3.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 3.3.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 3.3.5.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u} d u$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 3.3.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 3.3.7

Ersetze alle $u$ durch $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C_{2}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) = C$

Schritt 4.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$

Schritt 4.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})} = e^{C}$

Schritt 4.4

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}$

Schritt 4.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$ um.

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$

Schritt 4.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Schritt 4.5.3

Vereinfache.

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Schritt 4.5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

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Schritt 4.5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Schritt 4.5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Schritt 4.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.3.2.1

Vereinfache $e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

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Schritt 4.5.3.2.1.1

Multipliziere $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$| y | = e^{C} | 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Schritt 4.5.3.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.5.3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.3.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Schritt 4.5.3.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Schritt 4.5.3.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Schritt 4.5.3.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Schritt 4.5.3.2.1.2.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |$

Schritt 4.5.3.2.1.2.1.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.3.2.1.2.1.6.1

Bewege $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |$

Schritt 4.5.3.2.1.2.1.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |$

Schritt 4.5.3.2.1.2.1.7

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.3.2.1.2.1.7.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.5.3.2.1.2.1.7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |$

Schritt 4.5.3.2.1.2.1.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |$

Schritt 4.5.3.2.1.2.1.7.2

Addiere $1$ und $2$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |$

Schritt 4.5.3.2.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

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Schritt 4.5.3.2.1.2.2.1

Addiere $- x$ und $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |$

Schritt 4.5.3.2.1.2.2.2

Addiere $1 + x^{2}$ und $0$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |$

Schritt 4.5.3.2.1.2.2.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$| y | = e^{C} | 1 + 0 + x^{3} |$

Schritt 4.5.3.2.1.2.2.4

Addiere $1$ und $0$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{3} |$

Schritt 4.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.5.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{C} | 1 + x^{3} |$ um.

$| y | = | 1 + x^{3} | e^{C}$

Schritt 4.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x^{3} | e^{C}$

Schritt 5

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm | 1 + x^{3} | C$

Schritt 5.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C | 1 + x^{3} |$