Analysis Beispiele

$(x + 1) \frac{d y}{d x} - y = e^{x} {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $(x + 1) \frac{d y}{d x} - y = e^{x} {(x + 1)}^{2}$ durch $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 1)}^{2}$ und $x + 1$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $e^{x} {(x + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{(x + 1) (e^{x} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{(x + 1) (e^{x} (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{(x + 1) (e^{x} (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} (x + 1)}{1}$

Schritt 1.3.2.4

Dividiere $e^{x} (x + 1)$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = e^{x} (x + 1)$

Schritt 1.4

Faktorisiere $y$ aus $\frac{- y}{x + 1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x + 1} = e^{x} (x + 1)$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $\frac{- 1}{x + 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x + 1} y = e^{x} (x + 1)$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{- 1}{x + 1}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 1}{x + 1} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{- 1}{x + 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{\int - \frac{1}{x + 1} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Schritt 2.2.3

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.3.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.2.3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.3.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$e^{- \ln (| u |) + C}$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$e^{- \ln (| x + 1 |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (x + 1)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

${(x + 1)}^{- 1}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + 1}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x + 1}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x + 1} (\frac{- 1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x + 1}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} (\frac{- 1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} (- \frac{1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} (\frac{1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{1}{x + 1}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{y}{x + 1} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{y}{x + 1}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x + 1}$ mit $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{(x + 1) (x + 1)} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Schritt 3.2.5.2

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Schritt 3.2.5.3

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Schritt 3.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{1 + 1}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Schritt 3.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Schritt 3.3

Um $\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${(x + 1)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Schritt 3.4.2

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Schritt 3.4.3

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Schritt 3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Schritt 3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1) - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot 1 - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $\frac{d y}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 3.7.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $e^{x} (x + 1)$ heraus.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} ((x + 1) e^{x})$

Schritt 3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} ((x + 1) e^{x})$

Schritt 3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = e^{x}$

Schritt 3.8

Stelle die Faktoren in $\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = e^{x}$ um.

$\frac{x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = e^{x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1} y] = e^{x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1} y] d x = \int e^{x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x + 1} y = \int e^{x} d x$

Schritt 7

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$\frac{1}{x + 1} y = e^{x} + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{x + 1}$ und $y$ .

$\frac{y}{x + 1} = e^{x} + C$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten mit $x + 1$ .

$\frac{y}{x + 1} (x + 1) = (e^{x} + C) (x + 1)$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x + 1} (x + 1) = (e^{x} + C) (x + 1)$

Schritt 8.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (e^{x} + C) (x + 1)$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Vereinfache $(e^{x} + C) (x + 1)$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Multipliziere $(e^{x} + C) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = e^{x} (x + 1) + C (x + 1)$

Schritt 8.3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = e^{x} x + e^{x} \cdot 1 + C (x + 1)$

Schritt 8.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = e^{x} x + e^{x} \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Schritt 8.3.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$y = e^{x} x + e^{x} + C x + C \cdot 1$

Schritt 8.3.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$y = e^{x} x + e^{x} + C x + C$

Schritt 8.3.2.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.2.1.2.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{x} x + e^{x} + C x + C$ um.

$y = x e^{x} + e^{x} + C x + C$

Schritt 8.3.2.1.2.2.2

Bewege $e^{x}$ .

$y = x e^{x} + C x + C + e^{x}$

Schritt 8.3.2.1.2.2.3

Bewege $x e^{x}$ .

$y = C x + C + x e^{x} + e^{x}$