Analysis Beispiele

$x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ ?

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 1.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.4

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Schritt 2.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$x = 2 x$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$x = 2 x$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 x$ .

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $x$ .

$\frac{2 x - x}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $x y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $x y$ .

$\frac{2 x - x}{x y}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$\frac{x}{x y}$

Schritt 4.3.3

Ersetze $M$ durch $x y$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{x y}$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Schritt 5.2.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = | y | + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $y$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x y$ mit $y$ .

$x y \cdot y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Bewege $y$ .

$x (y \cdot y) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $x^{2} + y^{2}$ mit $y$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} + y^{2}) y d y = 0$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2} y) d y = 0$

Schritt 6.5

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 6.5.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2} y^{1}) d y = 0$

Schritt 6.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2 + 1}) d y = 0$

Schritt 6.5.2

Addiere $2$ und $1$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x y^{2} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = x y^{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = y^{2} \int x d x$

Schritt 8.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 8.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.3.1

Schreibe $y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$ um.

$f (x, y) = y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.3.2

Vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.3.2.2

Kombiniere $\frac{y^{2}}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Schritt 8.3.3

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + y^{3}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Schritt 11.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Schritt 11.3.2

Kombiniere $\frac{y^{2}}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Schritt 11.3.3

Da $\frac{x^{2}}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ nach $y$ gleich $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Schritt 11.3.5

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Schritt 11.3.6

Kombiniere $\frac{2 x^{2}}{2}$ und $y$ .

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Schritt 11.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Schritt 11.3.7.2

Dividiere $x^{2} y$ durch $1$ .

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + y^{3}$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = x^{2} y + y^{3}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y^{3} - x^{2} y$

Schritt 12.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} y + y^{3} - x^{2} y$ .

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Schritt 12.1.2.1

Subtrahiere $x^{2} y$ von $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3} + 0$

Schritt 12.1.2.2

Addiere $y^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $y^{3}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{3} d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{3} d y$

Schritt 13.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = \frac{1}{4} y^{4} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Schritt 15.2

Kombiniere $\frac{y^{2}}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Schritt 15.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{4} + C$