Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = g (x)$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung um.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = y$

Schritt 2

Separiere die Variablen.

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Schritt 2.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1.1

Vereinfache $\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y$ .

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Schritt 2.1.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1.1.1

Separiere Brüche.

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) y = y$

Schritt 2.1.1.1.1.2

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cot (x)) y = y$

Schritt 2.1.1.1.1.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} - (2 \cot (x)) y = y$

Schritt 2.1.1.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y = y$

Schritt 2.1.1.1.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y$ um.

$\frac{d y}{d x} - 2 y \cot (x) = y$

Schritt 2.1.2

Addiere $2 y \cot (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = y + 2 y \cot (x)$

Schritt 2.2

Faktorisiere $y$ aus $y + 2 y \cot (x)$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} + 2 y \cot (x)$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + 2 y \cot (x)$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $y$ aus $2 y \cot (x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y (1 + 2 \cot (x))$

Schritt 2.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

Schritt 2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 \cot (x)$

Schritt 2.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = (1 + 2 \cot (x)) d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

Schritt 3.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int 2 \cot (x) d x$

Schritt 3.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 \cot (x) d x$

Schritt 3.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int \cot (x) d x$

Schritt 3.3.4

Das Integral von $\cot (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\ln (| \sin (x) |) + C_{3})$

Schritt 3.3.5

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C_{4}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |) = x + C$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |)$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (| \sin (x) |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| y |) - \ln ({| \sin (x) |}^{2}) = x + C$

Schritt 4.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| \sin (x) |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| y |) - \ln (\sin^{2} (x)) = x + C$

Schritt 4.2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere mit $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x) \cdot 1}) = x + C$

Schritt 4.2.1.4

Separiere Brüche.

$\ln (\frac{| y |}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

Schritt 4.2.1.5

Wandle von $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ nach $\csc^{2} (x)$ um.

$\ln (\frac{| y |}{1} \csc^{2} (x)) = x + C$

Schritt 4.2.1.6

Dividiere $| y |$ durch $1$ .

$\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$

Schritt 4.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y | \csc^{2} (x))} = e^{x + C}$

Schritt 4.4

Schreibe $\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y | \csc^{2} (x)$

Schritt 4.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.5.1

Schreibe die Gleichung als $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ um.

$| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$

Schritt 4.5.2

Teile jeden Ausdruck in $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ durch $\csc^{2} (x)$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ durch $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Schritt 4.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\csc^{2} (x)$ .

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Schritt 4.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Schritt 4.5.2.2.1.2

Dividiere $| y |$ durch $1$ .

$| y | = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Schritt 4.5.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Schritt 5

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 5.1

Schreibe $e^{x + C}$ als $e^{x} e^{C}$ um.

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Schritt 5.2

Stelle $e^{x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{\csc^{2} (x)}$

Schritt 5.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C \frac{C e^{x}}{\csc^{2} (x)}$