Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(x y)}^{2}}$ , $y (1) = 3$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel auf $x y$ an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} y^{2}}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Kombinieren.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{x^{2} y^{2}}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x^{2} y^{2}$ heraus.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x^{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x^{2}}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Schreibe $- x^{- 1} + C_{2}$ als $- \frac{1}{x} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{x} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (- \frac{1}{x} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.2

Multipliziere $3 (- \frac{1}{x})$ .

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x}$ .

$y^{3} = \frac{- 3}{x} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} = - \frac{3}{x} + 3 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- \frac{3}{x} + 3 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- \frac{3}{x}$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 K$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + K)}$

Schritt 3.4.2

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + \frac{K x}{x})}$

Schritt 3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- 1 + K x}{x}}$

Schritt 3.4.4

Kombiniere $3$ und $\frac{- 1 + K x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$

Schritt 3.4.5

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$ als $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Schritt 3.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Schritt 3.4.7.2

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Schritt 3.4.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.4.7.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Schritt 3.4.7.5

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

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Schritt 3.4.7.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.4.7.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.4.7.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.7.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.7.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.7.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Schritt 3.4.7.5.5

Vereinfache.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Schritt 3.4.8

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Schritt 3.4.9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$

Schritt 3.4.10

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$

Schritt 4

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $x$ und $3$ für $y$ in $y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$ ersetzt wird.

$3 = \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 1^{2} (- 1 + K \cdot 1)}}{1}$

Schritt 5

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}{1} = 3$ um.

$\frac{\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}{1} = 3$

Schritt 5.2

Dividiere $\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}$ durch $1$ .

$\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))} = 3$

Schritt 5.3

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 5.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}^{3} = 3^{3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}$ als ${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.1

Vereinfache ${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.3.2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.2.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.3.2.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Schritt 5.3.2.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Schritt 5.3.2.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{1} = 3^{3}$

Schritt 5.3.2.2.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

${(3 \cdot (1 (- 1 + K \cdot 1)))}^{1} = 3^{3}$

Schritt 5.3.2.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 1 + K \cdot 1$ mit $1$ .

${(3 \cdot (- 1 + K \cdot 1))}^{1} = 3^{3}$

Schritt 5.3.2.2.1.1.4

Mutltipliziere $K$ mit $1$ .

${(3 \cdot (- 1 + K))}^{1} = 3^{3}$

Schritt 5.3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(3 \cdot - 1 + 3 K)}^{1} = 3^{3}$

Schritt 5.3.2.2.1.3

Multipliziere.

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Schritt 5.3.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

${(- 3 + 3 K)}^{1} = 3^{3}$

Schritt 5.3.2.2.1.3.2

Vereinfache.

$- 3 + 3 K = 3^{3}$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- 3 + 3 K = 27$

Schritt 5.3.3

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 5.3.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.3.1.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 K = 27 + 3$

Schritt 5.3.3.1.2

Addiere $27$ und $3$ .

$3 K = 30$

Schritt 5.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 K = 30$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 K = 30$ durch $3$ .

$\frac{3 K}{3} = \frac{30}{3}$

Schritt 5.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 K}{3} = \frac{30}{3}$

Schritt 5.3.3.2.2.1.2

Dividiere $K$ durch $1$ .

$K = \frac{30}{3}$

Schritt 5.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.2.3.1

Dividiere $30$ durch $3$ .

$K = 10$

Schritt 6

Setze $10$ für $K$ in $y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$ ein und vereinfache.

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Schritt 6.1

Ersetze $K$ durch $10$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + 10 x)}}{x}$