Analysis Beispiele

$(5 x + 3 e^{y}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 5 x + 3 e^{y}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [5 x + 3 e^{y}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 3 e^{y}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [3 e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [3 e^{y}]$

Schritt 1.2.2

Da $5 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 e^{y}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 e^{y}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{y}$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ gleich $a^{y} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 e^{y}$

Schritt 1.4

Addiere $0$ und $3 e^{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{y}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 x e^{y}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x e^{y}]$

Schritt 2.2

Da $2 e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x e^{y}$ nach $x$ gleich $2 e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{y} \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{y}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $3 e^{y}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 e^{y}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$3 e^{y} = 2 e^{y}$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$3 e^{y} = 2 e^{y}$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $3 e^{y}$ .

$\frac{3 e^{y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 e^{y}$ .

$\frac{3 e^{y} - (2 e^{y})}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $2 x e^{y}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $2 x e^{y}$ .

$\frac{3 e^{y} - (2 e^{y})}{2 x e^{y}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $e^{y}$ aus $3 e^{y} - 1 \cdot 2 e^{y}$ heraus.

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Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere $e^{y}$ aus $3 e^{y}$ heraus.

$\frac{e^{y} \cdot 3 - 1 \cdot 2 e^{y}}{2 x e^{y}}$

Schritt 4.3.2.1.2

Faktorisiere $e^{y}$ aus $- 1 \cdot 2 e^{y}$ heraus.

$\frac{e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 1 \cdot 2)}{2 x e^{y}}$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere $e^{y}$ aus $e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{e^{y} (3 - 1 \cdot 2)}{2 x e^{y}}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{e^{y} (3 - 2)}{2 x e^{y}}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{e^{y} \cdot 1}{2 x e^{y}}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $e^{y}$ mit $1$ .

$\frac{e^{y}}{2 x e^{y}}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{y}}{2 x e^{y}}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{2} \ln (| x |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(5 x + 3 e^{y}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $5 x + 3 e^{y}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(5 x + 3 e^{y}) x^{\frac{1}{2}} d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(5 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Schritt 6.3

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(5 (x^{\frac{1}{2}} x) + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 6.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(5 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Schritt 6.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(5 x^{\frac{1}{2} + 1} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Schritt 6.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$(5 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Schritt 6.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(5 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Schritt 6.3.5

Addiere $1$ und $2$ .

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $2 x e^{y}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} x^{\frac{1}{2}} d y = 0$

Schritt 6.5

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.5.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 (x^{\frac{1}{2}} x) e^{y} d y = 0$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 6.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) e^{y} d y = 0$

Schritt 6.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x^{\frac{1}{2} + 1} e^{y} d y = 0$

Schritt 6.5.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} e^{y} d y = 0$

Schritt 6.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} e^{y} d y = 0$

Schritt 6.5.5

Addiere $1$ und $2$ .

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $2 x^{\frac{3}{2}}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2 x^{\frac{3}{2}}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} \int e^{y} d y$

Schritt 8.2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} (e^{y} + C)$

Schritt 8.3

Vereinfache.

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} e^{y}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $2 e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{\frac{3}{2}} e^{y}$ nach $x$ gleich $2 e^{y} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$2 e^{y} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 11.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 11.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 11.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 11.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 11.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 11.3.7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 e^{y} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 11.3.8

Kombiniere $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} e^{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 11.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2} e^{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 11.3.10

Kombiniere $\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $e^{y}$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}} e^{y}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 11.3.11

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{\frac{1}{2}} e^{y}$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{y})}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 11.3.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{y})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 11.3.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{y})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 11.3.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{y}}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 11.3.12.4

Dividiere $3 x^{\frac{1}{2}} e^{y}$ durch $1$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{y} + \frac{d g}{d x} = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}} = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{\frac{3}{2}}$ , der in jedem Term vorkommt.

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} + 3 {(e x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}} - 5 x^{\frac{3}{2}} - 3 {(e x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}}$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x^{\frac{3}{2}}$ durch $u$ .

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} + 3 {(e (u))}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}} - 5 u - 3 {(e (u))}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}} = 0$

Schritt 12.1.3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 12.1.3.1

Vereinfache ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} + 3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}} - 5 u - 3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}}$ .

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Schritt 12.1.3.1.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} + 3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}} - 5 u - 3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}}$ .

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Schritt 12.1.3.1.1.1

Subtrahiere $3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}}$ von $3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}}$ .

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} - 5 u + 0 = 0$

Schritt 12.1.3.1.1.2

Addiere ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} - 5 u$ und $0$ .

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} - 5 u = 0$

Schritt 12.1.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.3.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 12.1.3.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} - 5 u = 0$

Schritt 12.1.3.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.1.3.1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} - 5 u = 0$

Schritt 12.1.3.1.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 5 u = 0$

Schritt 12.1.3.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1.3.1.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 5 u = 0$

Schritt 12.1.3.1.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{d g}{d x})}^{1} - 5 u = 0$

Schritt 12.1.3.1.2.2

Vereinfache.

$\frac{d g}{d x} - 5 u = 0$

Schritt 12.1.3.2

Subtrahiere $\frac{d g}{d x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 u = - \frac{d g}{d x}$

Schritt 12.1.3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 5 u = - \frac{d g}{d x}$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 12.1.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 u = - \frac{d g}{d x}$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 u}{- 5} = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 5}$

Schritt 12.1.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.1.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 12.1.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 u}{- 5} = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 5}$

Schritt 12.1.3.3.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 5}$

Schritt 12.1.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.1.3.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$u = \frac{\frac{d g}{d x}}{5}$

Schritt 12.1.4

Ersetze $u$ durch $\frac{d g}{d x}$ .

$x^{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{d g}{d x}}{5}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{\frac{d g}{d x}}{5}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $x^{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{d g}{d x}}{5}$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} d x = \int \frac{\frac{d g}{d x}}{5} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int x^{\frac{3}{2}} d x$ .

$g (x) = \int \frac{\frac{d g}{d x}}{5} d x$

Schritt 13.3

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = \frac{\frac{d g}{d x}}{5} x + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + \frac{\frac{d g}{d x}}{5} x + C$

Schritt 15

Vereinfache $f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + \frac{\frac{d g}{d x}}{5} x + C$ .

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Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{\frac{d g}{d x}}{5}$ und $x$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + \frac{\frac{d g}{d x} x}{5} + C$

Schritt 15.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + \frac{\frac{d g}{d x} x}{5} + C$ um.

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + \frac{x \frac{d g}{d x}}{5} + C$