Analysis Beispiele

$y (1 + x y) d x + (2 y - x) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y (1 + x y)$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (1 + x y)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = 1 + x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [1 + x y] + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x y] + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.4

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (x \frac{d}{d y} [y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (x \cdot 1) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + (1 + x y) \cdot 1$

Schritt 1.3.8

Mutltipliziere $1 + x y$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + 1 + x y$

Schritt 1.4

Addiere $y x$ und $x y$ .

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Schritt 1.4.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x y + x y + 1$

Schritt 1.4.2

Addiere $x y$ und $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 y - x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y - x]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.2

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

Schritt 2.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 x y + 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x y + 1 = - 1$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 x y + 1 = - 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 1$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 x y + 1$ .

$\frac{- 1 - (2 x y + 1)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $y (1 + x y)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $y (1 + x y)$ .

$\frac{- 1 - (2 x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 - (2 x y + 1)$ heraus.

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Schritt 4.3.2.1.1

Stelle $- 1$ und $- (2 x y + 1)$ um.

$\frac{- (2 x y + 1) - 1}{y (1 + x y)}$

Schritt 4.3.2.1.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (2 x y + 1) - 1 (1)}{y (1 + x y)}$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x y + 1) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (2 x y + 1 + 1)}{y (1 + x y)}$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- (2 x y + 2)}{y (1 + x y)}$

Schritt 4.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x y + 2$ heraus.

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Schritt 4.3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{- (2 (x y) + 2)}{y (1 + x y)}$

Schritt 4.3.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- (2 (x y) + 2 (1))}{y (1 + x y)}$

Schritt 4.3.2.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x y) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{- (2 (x y + 1))}{y (1 + x y)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Schritt 4.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x y + 1$ und $1 + x y$ .

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Schritt 4.3.3.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (x y + 1)}$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (x y + 1)}$

Schritt 4.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{y}$

Schritt 4.3.4

Ersetze $M$ durch $y (1 + x y)$ .

$- \frac{2}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| y |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Schritt 5.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Schritt 5.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $y (1 + x y) d x + (2 y - x) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y (1 + x y)$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y (1 + x y) \frac{1}{y^{2}} d x + (2 y - x) d y = 0$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y (1 + x y) \frac{1}{y \cdot y} d x + (2 y - x) d y = 0$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y (1 + x y) \frac{1}{y \cdot y} d x + (2 y - x) d y = 0$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(1 + x y) \frac{1}{y} d x + (2 y - x) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $1 + x y$ mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (2 y - x) d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $2 y - x$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (2 y - x) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $2 y - x$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + \frac{2 y - x}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1 + x y}{y} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = \frac{1 + x y}{y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} + \frac{x y}{y} d x$

Schritt 8.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

Schritt 8.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int x d x$

Schritt 8.4

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C + \int x d x$

Schritt 8.5

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \int x d x$

Schritt 8.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.7

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{y}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $\frac{1}{y}$ als $y^{- 1}$ um.

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Schritt 11.4

Da $\frac{1}{2} x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Schritt 11.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Schritt 11.6

Vereinfache.

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Schritt 11.6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Schritt 11.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 11.6.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Schritt 11.6.2.2

Addiere $- \frac{x}{y^{2}}$ und $0$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Schritt 11.6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1.1

Subtrahiere $\frac{2 y - x}{y^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{2 y - x}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - (2 y - x)}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - (2 y) - - x}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y - - x}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 12.1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y + 1 x}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y + x}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- x - 2 y + x$ .

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Schritt 12.1.1.4.1

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y + 0}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.4.2

Addiere $- 2 y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{2}$ .

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Schritt 12.1.1.5.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 2}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1.1.5.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 2}{y \cdot y} = 0$

Schritt 12.1.1.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 2}{y \cdot y} = 0$

Schritt 12.1.1.5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2}{y} = 0$

Schritt 12.1.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2}{y} = 0$

Schritt 12.1.2

Addiere $\frac{2}{y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{2}{y}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2}{y} d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2}{y} d y$

Schritt 13.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (y) = 2 \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 13.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 (\ln (| y |) + C)$

Schritt 13.5

Vereinfache.

$g (y) = 2 \ln (| y |) + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| y |) + C$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| y |) + C$

Schritt 15.2

Vereinfache $2 \ln (| y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + \ln ({| y |}^{2}) + C$

Schritt 15.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + \ln (y^{2}) + C$