Analysis Beispiele

$(x^{2} + y^{2}) d x = 2 x y d y$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 x y d y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(x^{2} + y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.3

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - 2 x y$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Schritt 3.2

Da $- 2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $x$ gleich $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 2 y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 y = - 2 y$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 y = - 2 y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 2 y$ .

$\frac{2 y - (- 2 y)}{N}$

Schritt 5.3

Ersetze $N$ durch $- 2 x y$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $N$ durch $- 2 x y$ .

$\frac{2 y - (- 2 y)}{- 2 x y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y - (- 2 y)$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{y \cdot 2 - (- 2 y)}{- 2 x y}$

Schritt 5.3.2.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- (- 2 y)$ heraus.

$\frac{y \cdot 2 + y (- (- 2))}{- 2 x y}$

Schritt 5.3.2.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 2 + y (- (- 2))$ heraus.

$\frac{y (2 - (- 2))}{- 2 x y}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{y (2 + 2)}{- 2 x y}$

Schritt 5.3.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{y \cdot 4}{- 2 x y}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \cdot 4}{- 2 x y}$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{- 2 x}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 2$ .

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2)}{- 2 x}$

Schritt 5.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (2)}{2 (- x)}$

Schritt 5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (- x)}$

Schritt 5.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{- x}$

Schritt 5.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 6.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 6.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Schritt 6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Schritt 6.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Schritt 6.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Schritt 6.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $(x^{2} + y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $x^{2} + y^{2}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}} d x - 2 x y d y = 0$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $x^{2} + y^{2}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}} d x - 2 x y d y = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 2 x y$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}} d x - 2 x y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x y$ heraus.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}} d x + x (- 2 y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 7.4.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}} d x + x (- 2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Schritt 7.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}} d x + x (- 2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Schritt 7.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}} d x - 2 y \frac{1}{x} d y = 0$

Schritt 7.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}} d x + y \frac{- 2}{x} d y = 0$

Schritt 7.6

Kombiniere $y$ und $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{y \cdot - 2}{x} d y = 0$

Schritt 7.7

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{- 2 \cdot y}{x} d y = 0$

Schritt 7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}} d x - \frac{2 y}{x} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{2 y}{x} d y$

Schritt 9

Integriere $N (x, y) = - \frac{2 y}{x}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \int \frac{2 y}{x} d y$

Schritt 9.2

Da $\frac{2}{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{2}{x}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - (\frac{2}{x} \int y d y)$

Schritt 9.3

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = - \frac{2}{x} \int y d y$

Schritt 9.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 9.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.5.1

Schreibe $- \frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ um.

$f (x, y) = - \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 9.5.2

Vereinfache.

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Schritt 9.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Schritt 9.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Schritt 9.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} y^{2} + C$

Schritt 9.5.2.3

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x} + g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $- y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{y^{2}}{x}$ nach $x$ gleich $- y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 12.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- y^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 12.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 12.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 12.3.5

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y^{2} x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 12.5

Vereinfache.

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Schritt 12.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y^{2} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 12.5.2

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 12.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1.1

Subtrahiere $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (x^{2} + y^{2})}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{2} - x^{2} - y^{2}$ .

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Schritt 13.1.1.4.1

Subtrahiere $y^{2}$ von $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.4.2

Addiere $- x^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 13.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.5.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 1 = 0$

Schritt 13.1.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 1$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $1$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Schritt 14.3

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = x + C$

Schritt 15

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x} + x + C$