Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Spalte $\frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$ auf und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x (y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Schritt 1.1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Schritt 1.1.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{- y}{2 x}$

Schritt 1.1.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} - \frac{y}{2 x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Differentialgleichung als $f (\frac{y}{x})$ um.

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Schritt 1.2.1

Klammere $\frac{x}{y}$ von $\frac{3 x}{y}$ aus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $\frac{x}{y}$ aus $\frac{3 x}{y}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot 3 - \frac{y}{2 x}$

Schritt 1.2.1.2

Stelle $\frac{x}{y}$ und $3$ um.

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot \frac{x}{y} - \frac{y}{2 x}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\frac{x}{y}$ als ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - \frac{y}{2 x}$

Schritt 1.3

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{y}{2 x}$ aus.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{y}{2 x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - (\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.3.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $\frac{1}{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x})$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot V^{- 1} - (\frac{1}{2} V)$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot V^{- 1} - (\frac{1}{2} V)$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot \frac{1}{V} - \frac{1}{2} V$

Schritt 6.1.1.1.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{V} - \frac{1}{2} V$

Schritt 6.1.1.1.3

Kombiniere $V$ und $\frac{1}{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{V} - \frac{V}{2}$

Schritt 6.1.1.2

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2

Um $- V$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.1.3.3.3.1

Kombiniere $- V$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{- V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Faktorisiere $V$ aus $- V - V \cdot 2$ heraus.

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Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Faktorisiere $V$ aus $- V$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Faktorisiere $V$ aus $- V \cdot 2$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Faktorisiere $V$ aus $V \cdot - 1 + V (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V (- 1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V (- 1 - 2)}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 3}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{- 3 \cdot V}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{3 V}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.3.3.4.1

Um $\frac{3}{V}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 V}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.2

Um $- \frac{3 V}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $V \cdot 2$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.1.1.3.3.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{V}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{V \cdot 2} - \frac{3 V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{3 V}{2}$ mit $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{V \cdot 2} - \frac{3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.3.3

Stelle die Faktoren von $V \cdot 2$ um.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{2 V} - \frac{3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2 - 3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.3.3.4.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 2 - 3 V \cdot V$ heraus.

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Schritt 6.1.1.3.3.4.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 2$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2) - 3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 V \cdot V$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2) + 3 (- V \cdot V)}{2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.5.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (2) + 3 (- V \cdot V)$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - V \cdot V)}{2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.5.2

Multipliziere $V$ mit $V$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.3.3.4.5.2.1

Bewege $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - (V \cdot V))}{2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.5.2.2

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - V^{2})}{2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.6

Kombinieren.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{2 V x}$

Schritt 6.1.1.3.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V x}$

Schritt 6.1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})}$ .

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} (\frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.4.1

Kombinieren.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \cdot \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{2 V x}$

Schritt 6.1.4.2

Kombinieren.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (2 V x)}$

Schritt 6.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (2 V x)}$

Schritt 6.1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (V x)}$

Schritt 6.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V$ .

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Schritt 6.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (V x)}$

Schritt 6.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{3 (2 - V^{2}) (x)}$

Schritt 6.1.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.1.4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{3 (2 - V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 - V^{2}) \cdot 1}{(2 - V^{2}) (x)}$

Schritt 6.1.4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - V^{2}$ .

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Schritt 6.1.4.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 - V^{2}) \cdot 1}{(2 - V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $V$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} \int \frac{V}{2 - V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Sei $u = 2 - V^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 V d V$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.2.1

Es sei $u = 2 - V^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Differenziere $2 - V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [2 - V^{2}]$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Differenziere.

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Schritt 6.2.2.2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - V^{2}$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Schritt 6.2.2.2.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Schritt 6.2.2.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $- V^{2}$ nach $V$ gleich $- \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Schritt 6.2.2.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 V)$

Schritt 6.2.2.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 V$

Schritt 6.2.2.2.1.4

Subtrahiere $2 V$ von $0$ .

$- 2 V$

Schritt 6.2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 6.2.2.6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.8

Vereinfache.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.9

Ersetze alle $u$ durch $2 - V^{2}$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1.1

Vereinfache $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |))$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Kombiniere $\ln (| 2 - V^{2} |)$ und $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 2 - V^{2} |)}{3}) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| 2 - V^{2} |)}{3}$ in den Zähler.

$- 3 \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 6.3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $\ln (| 2 - V^{2} |)$ mit $1$ .

$\ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 \ln (| x |) - 3 C$

Schritt 6.3.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 2 - V^{2} |) + 3 \ln (| x |) = - 3 C$

Schritt 6.3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.4.1

Vereinfache $\ln (| 2 - V^{2} |) + 3 \ln (| x |)$ .

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Schritt 6.3.4.1.1

Vereinfache $3 \ln (| x |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| 2 - V^{2} |) + \ln ({| x |}^{3}) = - 3 C$

Schritt 6.3.4.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}) = - 3 C$

Schritt 6.3.5

Um nach $V$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3})} = e^{- 3 C}$

Schritt 6.3.6

Schreibe $\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}) = - 3 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 C} = | 2 - V^{2} | {| x |}^{3}$

Schritt 6.3.7

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.7.1

Schreibe die Gleichung als $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ um.

$| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$

Schritt 6.3.7.2

Teile jeden Ausdruck in $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ durch ${| x |}^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ durch ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Schritt 6.3.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| x |}^{3}$ .

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Schritt 6.3.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Schritt 6.3.7.2.2.1.2

Dividiere $| 2 - V^{2} |$ durch $1$ .

$| 2 - V^{2} | = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Schritt 6.3.7.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$2 - V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Schritt 6.3.7.4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$

Schritt 6.3.7.5

Teile jeden Ausdruck in $- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.7.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- V^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.3.7.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.7.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{V^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.3.7.5.2.2

Dividiere $V^{2}$ durch $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.3.7.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.7.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.7.5.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1}$ .

$V^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.3.7.5.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ als $- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ um.

$V^{2} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.3.7.5.3.1.3

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$V^{2} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 2$

Schritt 6.3.7.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Schritt 6.4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{C}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Schritt 6.4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$V = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

Schritt 8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache $(\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kombiniere $C$ und $\frac{1}{{| x |}^{3}}$ .

$y = (\pm \sqrt{- \frac{C}{{| x |}^{3}} + 2}) x$

Schritt 8.2.2.1.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}$ .

$y = (\pm \sqrt{- \frac{C}{{| x |}^{3}} + \frac{2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}}) x$

Schritt 8.2.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = (\pm \sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}}) x$

Schritt 8.2.2.1.4

Schreibe $\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}$ als ${(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}$ um.

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Schritt 8.2.2.1.4.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $- C + 2 {| x |}^{3}$ heraus.

$y = (\pm \sqrt{\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{3}}}) x$

Schritt 8.2.2.1.4.2

Faktorisiere die perfekte Potenz ${| x |}^{2}$ aus ${| x |}^{3}$ heraus.

$y = (\pm \sqrt{\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{2} | x |}}) x$

Schritt 8.2.2.1.4.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{2} | x |}$ um.

$y = (\pm \sqrt{{(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}) x$

Schritt 8.2.2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = (\pm \frac{1}{| x |} \sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}) x$

Schritt 8.2.2.1.6

Schreibe $\sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}$ als $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{\sqrt{| x |}}$ um.

$y = (\pm \frac{1}{| x |} \cdot \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{\sqrt{| x |}}) x$

Schritt 8.2.2.1.7

Kombinieren.

$y = (\pm \frac{1 \sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}) x$

Schritt 8.2.2.1.8

Mutltipliziere $\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}$ mit $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}) x$

Schritt 8.2.2.1.9

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ mit $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}) x$

Schritt 8.2.2.1.10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1.10.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ mit $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | \sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}) x$

Schritt 8.2.2.1.10.2

Bewege $\sqrt{| x |}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | (\sqrt{| x |} \sqrt{| x |})}) x$

Schritt 8.2.2.1.10.3

Potenziere $\sqrt{| x |}$ mit $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |})}) x$

Schritt 8.2.2.1.10.4

Potenziere $\sqrt{| x |}$ mit $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1})}) x$

Schritt 8.2.2.1.10.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}) x$

Schritt 8.2.2.1.10.6

Addiere $1$ und $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{2}}) x$

Schritt 8.2.2.1.10.7

Schreibe ${\sqrt{| x |}}^{2}$ als $| x |$ um.

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Schritt 8.2.2.1.10.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{| x |}$ als ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) x$

Schritt 8.2.2.1.10.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) x$

Schritt 8.2.2.1.10.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}) x$

Schritt 8.2.2.1.10.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.1.10.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}) x$

Schritt 8.2.2.1.10.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{1}}) x$

Schritt 8.2.2.1.10.7.5

Vereinfache.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | | x |}) x$

Schritt 8.2.2.1.11

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x | | x |}) x$

Schritt 8.2.2.1.12

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x \cdot x |}) x$

Schritt 8.2.2.1.13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1.13.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x^{2} |}) x$

Schritt 8.2.2.1.13.2

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{x^{2}}) x$

Schritt 8.2.2.1.14

Stelle die Faktoren in $(\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{x^{2}}) x$ um.

$y = (\pm \frac{\sqrt{| x | (- C + 2 {| x |}^{3})}}{x^{2}}) x$