Analysis Beispiele

$\frac{d Q}{d t} + \frac{1}{20} Q = 0$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = \frac{1}{20}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{20} d t}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{\frac{1}{20} t + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\frac{1}{20} t}$

Schritt 1.4

Kombiniere $\frac{1}{20}$ und $t$ .

$e^{\frac{t}{20}}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{t}{20}}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{t}{20}}$ .

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + e^{\frac{t}{20}} (\frac{1}{20} Q) = e^{\frac{t}{20}} \cdot 0$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{1}{20} e^{\frac{t}{20}} Q = e^{\frac{t}{20}} \cdot 0$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{20}$ und $e^{\frac{t}{20}}$ .

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{20}}}{20} Q = e^{\frac{t}{20}} \cdot 0$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{e^{\frac{t}{20}}}{20}$ und $Q$ .

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{20}} Q}{20} = e^{\frac{t}{20}} \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $e^{\frac{t}{20}}$ mit $0$ .

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{20}} Q}{20} = 0$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{20}} Q}{20} = 0$ um.

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{Q e^{\frac{t}{20}}}{20} = 0$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{20}} Q] = 0$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{20}} Q] d t = \int 0 d t$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{\frac{t}{20}} Q = \int 0 d t$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Das Integral von $0$ nach $t$ ist $0$ .

$e^{\frac{t}{20}} Q = 0 + C$

Schritt 6.2

Addiere $0$ und $C$ .

$e^{\frac{t}{20}} Q = C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{t}{20}} Q = C$ durch $e^{\frac{t}{20}}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{t}{20}} Q = C$ durch $e^{\frac{t}{20}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{20}} Q}{e^{\frac{t}{20}}} = \frac{C}{e^{\frac{t}{20}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\frac{t}{20}}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{\frac{t}{20}} Q}{e^{\frac{t}{20}}} = \frac{C}{e^{\frac{t}{20}}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $Q$ durch $1$ .

$Q = \frac{C}{e^{\frac{t}{20}}}$