Analysis Beispiele

$x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (7 x + 1)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (7 x + 1)$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (7 x + 1)$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (7 x + 1)}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (7 x + 1)}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d w}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (7 x + 1)}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d w}{d x} = \sqrt{w} \frac{7 x + 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{w}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{7 x + 1}{x^{2}})$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{w}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{7 x + 1}{x^{2}})$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{7 x + 1}{x^{2}}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sqrt{w}} d w = \frac{7 x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sqrt{w}} d w = \int \frac{7 x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{w}$ als $w^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{w^{\frac{1}{2}}} d w = \int \frac{7 x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.2

Bringe $w^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d w = \int \frac{7 x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int w^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d w = \int \frac{7 x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int w^{\frac{- 1}{2}} d w = \int \frac{7 x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int w^{- \frac{1}{2}} d w = \int \frac{7 x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $w^{- \frac{1}{2}}$ nach $w$ gleich $2 w^{\frac{1}{2}}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{7 x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (7 x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (7 x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (7 x + 1) x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $(7 x + 1) x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1.1

Bewege $x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 (x^{- 2} x) + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3.1.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 (x^{- 2} x^{1}) + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x^{- 2 + 1} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3.1.3

Addiere $- 2$ und $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.5

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 (\ln (| x |) + C_{2}) - x^{- 1} + C_{3}$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{4}$

Schritt 2.3.9

Stelle die Terme um.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{x} + 7 \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 7 \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $w$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 7 \ln (| x |) + C$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 7 \ln (| x |) + C$ durch $2$ .

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{7 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{7 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $w^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$w^{\frac{1}{2}} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{7 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2} + \frac{7 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{7 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3.1.3

Schreibe $\frac{7 \ln (| x |)}{2}$ als $\frac{7}{2} \ln (| x |)$ um.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{7}{2} \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3.1.4

Vereinfache $\frac{7}{2} \ln (| x |)$ , indem du $\frac{7}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \ln ({| x |}^{\frac{7}{2}}) + \frac{C}{2}$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln ({| x |}^{\frac{7}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln ({| x |}^{\frac{7}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln ({| x |}^{\frac{7}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$w^{1} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln ({| x |}^{\frac{7}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache.

$w = {(- \frac{1}{2 x} + \ln ({| x |}^{\frac{7}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$w = {(- \frac{1}{2 x} + \ln ({| x |}^{\frac{7}{2}}) + C)}^{2}$