Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{3} - y^{2}} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache $\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{3} - y^{2}}$ .

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3} - y^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} y - y^{2}} = 0$

Schritt 1.1.1.1.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} y + y^{2} \cdot - 1} = 0$

Schritt 1.1.1.1.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} y + y^{2} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Schritt 1.1.1.2

Um $\frac{d y}{d x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot \frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Schritt 1.1.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(y - 1) y^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.1.3.1

Kombiniere $\frac{d y}{d x}$ und $\frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2})}{(y - 1) y^{2}} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Schritt 1.1.1.3.2

Stelle die Faktoren von $(y - 1) y^{2}$ um.

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2})}{y^{2} (y - 1)} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Schritt 1.1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2}) + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Schritt 1.1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} \cdot - 1) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Schritt 1.1.1.5.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(\frac{d y}{d x} y - 1 \cdot \frac{d y}{d x}) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Schritt 1.1.1.5.3

Schreibe $- 1 \frac{d y}{d x}$ als $- \frac{d y}{d x}$ um.

$\frac{(\frac{d y}{d x} y - \frac{d y}{d x}) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Schritt 1.1.1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{d y}{d x} y \cdot y^{2} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Schritt 1.1.1.5.5

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.5.5.1

Bewege $y^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (y^{2} y) - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Schritt 1.1.1.5.5.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 1.1.1.5.5.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (y^{2} y^{1}) - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Schritt 1.1.1.5.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2 + 1} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Schritt 1.1.1.5.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Schritt 1.1.2

Setze den Zähler gleich Null.

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25 = 0$

Schritt 1.1.3

Löse die Gleichung nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d y}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.3.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + 25 = - x^{2}$

Schritt 1.1.3.1.2

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} = - x^{2} - 25$

Schritt 1.1.3.2

Faktorisiere $\frac{d y}{d x} y^{2}$ aus $\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.3.2.1

Faktorisiere $\frac{d y}{d x} y^{2}$ aus $\frac{d y}{d x} y^{3}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} y^{2} y - \frac{d y}{d x} y^{2} = - x^{2} - 25$

Schritt 1.1.3.2.2

Faktorisiere $\frac{d y}{d x} y^{2}$ aus $- \frac{d y}{d x} y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} y^{2} y + \frac{d y}{d x} y^{2} \cdot - 1 = - x^{2} - 25$

Schritt 1.1.3.2.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x} y^{2}$ aus $\frac{d y}{d x} y^{2} y + \frac{d y}{d x} y^{2} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$

Schritt 1.1.3.3

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$ durch $y^{2} (y - 1)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$ durch $y^{2} (y - 1)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1)}{y^{2} (y - 1)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Schritt 1.1.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1)}{y^{2} (y - 1)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Schritt 1.1.3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y - 1)}{y - 1} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Schritt 1.1.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 1.1.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y - 1)}{y - 1} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Schritt 1.1.3.3.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Schritt 1.1.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Schritt 1.1.3.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - (\frac{25}{y^{2} (y - 1)})$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - (\frac{25}{y^{2} (y - 1)})$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{25}{y^{2} (y - 1)})$

Schritt 1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2} (y - 1)$ .

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) (- \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - y^{2} (y - 1) \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} (y - 1)$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $y^{2} (y - 1)$ aus $- y^{2} (y - 1)$ heraus.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) (- 1) \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) \cdot - 1 \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - (x^{2} + 25)$

Schritt 1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 1 \cdot 25$

Schritt 1.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 25$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$y^{2} (y - 1) d y = (- x^{2} - 25) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} (y - 1) d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $y^{2} (y - 1)$ .

$\int y^{2} y + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int y^{2 + 1} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Schritt 2.2.2.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\int y^{3} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\int y^{3} - 1 \cdot y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Schritt 2.2.2.3

Schreibe $- 1 y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$\int y^{3} - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Schritt 2.2.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y^{3} d y + \int - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Schritt 2.2.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Schritt 2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} - \int y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Schritt 2.2.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int - x^{2} - 25 d x$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int - x^{2} - 25 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int - x^{2} d x + \int - 25 d x$

Schritt 2.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - \int x^{2} d x + \int - 25 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int - 25 d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) - 25 x + C_{5}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) - 25 x + C_{5}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - \frac{1}{3} x^{3} - 25 x + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{3} - 25 x + K$