Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{y}$ , $y (- 1) = - 2$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x^{2}}{y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x^{2}}{y}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = 6 x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ als $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = 2 x^{3} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (2 x^{3} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (2 x^{3} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (2 x^{3}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y^{2} = 4 x^{3} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{4 x^{3} + 2 K}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3} + 2 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3}) + 2 K}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3}) + 2 K}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3}) + 2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Schritt 4

Da $y$ negativ in der Anfangsbedingung $(- 1, - 2)$ ist, betrachte nur $y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$ um $K$ zu finden. Ersetze $- 1$ für $x$ und $- 2$ für $y$ .

$- 2 = - \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)}$

Schritt 5

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)} = - 2$ um.

$- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)} = - 2$

Schritt 5.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)}$ als ${(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache ${(- {(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

${(- {(2 (2 \cdot - 1 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

${(- {(2 (- 2 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(- {(2 \cdot - 2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.2.1.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

${(- {(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2.2.2

Wende die Produktregel auf $- {(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2.2.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2.2.4

Mutltipliziere ${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2.2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- 4 + 2 K)}^{1} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.3

Vereinfache.

$- 4 + 2 K = {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 4 + 2 K = 4$

Schritt 5.4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 5.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.1.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 K = 4 + 4$

Schritt 5.4.1.2

Addiere $4$ und $4$ .

$2 K = 8$

Schritt 5.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 K = 8$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 K = 8$ durch $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{8}{2}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 K}{2} = \frac{8}{2}$

Schritt 5.4.2.2.1.2

Dividiere $K$ durch $1$ .

$K = \frac{8}{2}$

Schritt 5.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.3.1

Dividiere $8$ durch $2$ .

$K = 4$

Schritt 6

Setze $4$ für $K$ in $y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$ ein und vereinfache.

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Schritt 6.1

Ersetze $K$ durch $4$ .

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + 4)}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} + 4$ heraus.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$y = - \sqrt{2 (2 (x^{3}) + 4)}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + 2 \cdot 2)}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} + 2 \cdot 2$ heraus.

$y = - \sqrt{2 (2 (x^{3} + 2))}$

$y = - \sqrt{2 \cdot 2 (x^{3} + 2)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = - \sqrt{4 (x^{3} + 2)}$

Schritt 6.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = - \sqrt{2^{2} (x^{3} + 2)}$

Schritt 6.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = - (2 \sqrt{x^{3} + 2})$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = - 2 \sqrt{x^{3} + 2}$