Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + y}{2 x}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{x + y}{2 x}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 x} + \frac{y}{2 x}$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $\frac{y}{2 x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $- \frac{y}{2 x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{2 x}) = \frac{x}{2 x}$

Schritt 1.3

Stelle $y$ und $- \frac{1}{2 x}$ um.

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{2 x} y = \frac{x}{2 x}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - \frac{1}{2 x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $- \frac{1}{2 x}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{2 x} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- \frac{1}{2}})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Schritt 3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2 x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Schritt 3.2.4

Multipliziere $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{y}{2 x}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Schritt 3.2.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.4.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Schritt 3.2.4.2.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 3.2.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Schritt 3.2.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Schritt 3.2.4.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Schritt 3.2.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Schritt 3.2.4.2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

Schritt 3.3

Kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Schritt 3.4

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 3.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 3.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 3.4.5

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Schritt 3.6

Bringe $x^{1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 x^{- 1}}$

Schritt 3.7

Multipliziere $x^{\frac{3}{2}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.1

Bewege $x^{- 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1} x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Schritt 3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1 + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

Schritt 3.7.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

Schritt 3.7.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

Schritt 3.7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} \cdot 2}$

Schritt 3.7.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 2 + 3}{2}} \cdot 2}$

Schritt 3.7.6.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 3.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y] = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y] d x = \int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 7.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.2.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 7.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 7.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 7.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 7.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.4.1

Schreibe $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7.4.2

Vereinfache.

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Schritt 7.4.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = 1 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7.4.2.3

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $y$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Vereinfache $(x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.3.2.1.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.3.2.1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.3.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = x^{\frac{1 + 1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.3.2.1.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$y = x^{\frac{2}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.3.2.1.2.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$y = x^{1} + C x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.3.2.1.3

Vereinfache $x^{1}$ .

$y = x + C x^{\frac{1}{2}}$