Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{3}} - x$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\frac{1}{x^{3}} - x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{1}{x^{3}} - x d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} - x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - x d x$

Schritt 2.3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.2.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - x d x$

Schritt 2.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - x d x$

Schritt 2.3.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \int x^{- 3} d x + \int - x d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2} + \int - x d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2} - \int x d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot x^{2}} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{x^{2}}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.8

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2 x^{2}} + K$