Analysis Beispiele

$6 \frac{d y}{d x} - 2 y = x y^{4}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Bernoulli-Technik entspricht.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $6 \frac{d y}{d x} - 2 y = x y^{4}$ durch $6$ .

$\frac{6 \frac{d y}{d x}}{6} + \frac{- 2 y}{6} = \frac{x y^{4}}{6}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \frac{d y}{d x}}{6} + \frac{- 2 y}{6} = \frac{x y^{4}}{6}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{6} = \frac{x y^{4}}{6}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $6$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (- y)}{6} = \frac{x y^{4}}{6}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (- y)}{2 (3)} = \frac{x y^{4}}{6}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (- y)}{2 \cdot 3} = \frac{x y^{4}}{6}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{3} = \frac{x y^{4}}{6}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{3} y = \frac{1}{6} x y^{4}$

Schritt 2

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{4}$ ist.

$v = y^{- 3}$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 5

Nimm die Ableitung von $v^{- \frac{1}{3}}$ in Gedenken an $x$ .

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Schritt 5.1

Nimm die Ableitung von $v^{- \frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

Schritt 5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Schritt 5.4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.4.1

Mutltipliziere $v^{\frac{1}{3}}$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.4.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = v$ .

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Schritt 5.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.5.3

Ersetze alle $u$ durch $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.9.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $v^{- \frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.12

Bringe $v^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.13

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.14

Kombiniere $\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ und $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.15

Schreibe $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ als ein Produkt um.

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 5.16

Mutltipliziere $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ mit $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.17

Multipliziere $v^{\frac{2}{3}}$ mit $v^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.17.1

Bewege $v^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 5.17.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Schritt 5.17.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Schritt 5.17.4

Addiere $2$ und $2$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 6

Setze $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{- \frac{1}{3}}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{3} y = \frac{1}{6} x y^{4}$ ein.

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

Schritt 7

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 7.1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ um.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ mit $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 7.1.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ mit $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 v^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 7.1.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ in den Zähler.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.1.2

Faktorisiere $3 v^{\frac{4}{3}}$ aus $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.4

Multipliziere $v^{- \frac{1}{3}}$ mit $v^{\frac{4}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.1.2.1.4.1

Bewege $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.4.4

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.4.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.5

Vereinfache $\frac{- 1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{3} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.7

Kombiniere $v$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{3} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1.1.2.1.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{v}{3}$ in den Zähler.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{3} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.8.2

Faktorisiere $3$ aus $- 1 \cdot (3)$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.8.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} - v \cdot - 1 = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.10

Mutltipliziere $v$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1.1.3.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x$ .

$\frac{d v}{d x} + v = \frac{x}{6} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 7.1.1.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} + v = - 1 \cdot 3 \frac{x}{6} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Schritt 7.1.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1.1.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 1 \cdot 3$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + v = 3 \cdot - 1 \frac{x}{6} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Schritt 7.1.1.3.3.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + v = 3 \cdot - 1 \frac{x}{3 (2)} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Schritt 7.1.1.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} + v = 3 \cdot - 1 \frac{x}{3 \cdot 2} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Schritt 7.1.1.3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Schritt 7.1.1.3.4

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ .

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Schritt 7.1.1.3.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

Schritt 7.1.1.3.4.2

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot 4$ .

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Schritt 7.1.1.3.4.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

Schritt 7.1.1.3.4.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Schritt 7.1.1.3.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Schritt 7.1.1.3.5

Multipliziere $v^{- \frac{4}{3}}$ mit $v^{\frac{4}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.1.3.5.1

Bewege $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

Schritt 7.1.1.3.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

Schritt 7.1.1.3.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{\frac{4 - 4}{3}}$

Schritt 7.1.1.3.5.4

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{\frac{0}{3}}$

Schritt 7.1.1.3.5.5

Dividiere $0$ durch $3$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{0}$

Schritt 7.1.1.3.6

Vereinfache $- \frac{x}{2} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2}$

Schritt 7.1.2

Schreibe die Gleichung mit isolierten Koeffizienten um.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{1}{2} x$

Schritt 7.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 1$ gilt.

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Schritt 7.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int d x}$

Schritt 7.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{x + C}$

Schritt 7.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x}$

Schritt 7.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

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Schritt 7.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} (- \frac{1}{2} x)$

Schritt 7.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{x} x$

Schritt 7.3.3

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - \frac{e^{x}}{2} x$

Schritt 7.3.4

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{x}}{2}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - \frac{x e^{x}}{2}$

Schritt 7.3.5

Stelle die Faktoren in $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - \frac{x e^{x}}{2}$ um.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = - \frac{x e^{x}}{2}$

Schritt 7.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = - \frac{x e^{x}}{2}$

Schritt 7.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int - \frac{x e^{x}}{2} d x$

Schritt 7.6

Integriere die linke Seite.

$e^{x} v = \int - \frac{x e^{x}}{2} d x$

Schritt 7.7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{x} v = - \int \frac{x e^{x}}{2} d x$

Schritt 7.7.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{x} v = - (\frac{1}{2} \int x e^{x} d x)$

Schritt 7.7.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Schritt 7.7.4

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Schritt 7.7.5

Vereinfache.

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C$

Schritt 7.8

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C$ durch $e^{x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C$ durch $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 7.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.8.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.8.3.1

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 7.8.3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \frac{- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3.1.2

Stelle die Faktoren in $- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C$ um.

$v = \frac{- (x e^{x} - e^{x}) \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.8.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = \frac{(- (x e^{x}) - - e^{x}) \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3.2.2

Multipliziere $- - e^{x}$ .

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Schritt 7.8.3.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$v = \frac{(- x e^{x} + 1 e^{x}) \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3.2.2.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$v = \frac{(- x e^{x} + e^{x}) \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$v = \frac{- x e^{x} \frac{1}{2} + e^{x} \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3.2.4

Multipliziere $- x e^{x} \frac{1}{2}$ .

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Schritt 7.8.3.2.4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$v = \frac{- \frac{x}{2} e^{x} + e^{x} \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3.2.4.2

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{x}{2}$ .

$v = \frac{- \frac{e^{x} x}{2} + e^{x} \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3.2.5

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$v = \frac{- \frac{e^{x} x}{2} + \frac{e^{x}}{2} + C}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \frac{\frac{- e^{x} x + e^{x}}{2} + C}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3.2.7

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} x + e^{x}$ heraus.

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Schritt 7.8.3.2.7.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} x$ heraus.

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{2} + C}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3.2.7.2

Multipliziere mit $1$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{2} + C}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3.2.7.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ heraus.

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x + 1)}{2} + C}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3.2.8

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x + 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3.2.9

Kombiniere $C$ und $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x + 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x + 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.8.3.2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3.2.11.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$v = \frac{\frac{- e^{x} x + e^{x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3.2.11.3

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$v = \frac{\frac{- e^{x} x + e^{x} + C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3.2.11.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$v = \frac{\frac{- e^{x} x + e^{x} + 2 C}{2}}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$v = \frac{- e^{x} x + e^{x} + 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Schritt 7.8.3.4

Mutltipliziere $\frac{- e^{x} x + e^{x} + 2 C}{2}$ mit $\frac{1}{e^{x}}$ .

$v = \frac{- e^{x} x + e^{x} + 2 C}{2 e^{x}}$

Schritt 7.8.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{x} x$ heraus.

$v = \frac{- (e^{x} x) + e^{x} + 2 C}{2 e^{x}}$

Schritt 7.8.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $e^{x}$ heraus.

$v = \frac{- (e^{x} x) - 1 (- e^{x}) + 2 C}{2 e^{x}}$

Schritt 7.8.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (e^{x} x) - 1 (- e^{x})$ heraus.

$v = \frac{- (e^{x} x - e^{x}) + 2 C}{2 e^{x}}$

Schritt 7.8.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $2 C$ heraus.

$v = \frac{- (e^{x} x - e^{x}) - (- 2 C)}{2 e^{x}}$

Schritt 7.8.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (e^{x} x - e^{x}) - (- 2 C)$ heraus.

$v = \frac{- (e^{x} x - e^{x} - 2 C)}{2 e^{x}}$

Schritt 7.8.3.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.8.3.10.1

Schreibe $- (e^{x} x - e^{x} - 2 C)$ als $- 1 (e^{x} x - e^{x} - 2 C)$ um.

$v = \frac{- 1 (e^{x} x - e^{x} - 2 C)}{2 e^{x}}$

Schritt 7.8.3.10.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$v = - \frac{e^{x} x - e^{x} - 2 C}{2 e^{x}}$

Schritt 7.8.3.10.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{e^{x} x - e^{x} - 2 C}{2 e^{x}}$ um.

$v = - \frac{x e^{x} - e^{x} - 2 C}{2 e^{x}}$

Schritt 8

Ersetze $v$ durch $y^{- 3}$ .

$y^{- 3} = - \frac{x e^{x} - e^{x} - 2 C}{2 e^{x}}$