Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x$ , $y (0) = 1$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 2 x$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 2 x d x}$

Schritt 1.2

Integriere $2 x$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int x d x}$

Schritt 1.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{1 x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} x$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x$

Schritt 2.3

Stelle die Faktoren in $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x$ um.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = x e^{x^{2}}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = x e^{x^{2}}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int x e^{x^{2}} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{x^{2}} y = \int x e^{x^{2}} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Sei $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1.1

Es sei $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Differenziere $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Schritt 6.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 6.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 6.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 6.1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 6.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Schritt 6.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{x^{2}} (2 x)$ um.

$2 e^{x^{2}} x$

Schritt 6.1.1.4.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{x^{2}} x$ um.

$2 x e^{x^{2}}$

Schritt 6.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{x^{2}} y = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 6.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} u_{2} + C$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ durch $e^{x^{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ durch $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x^{2}}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x^{2}}$ .

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 7.3.1.2

Dividiere $\frac{1}{2}$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$ ersetzt wird.

$1 = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$

Schritt 9

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$ um.

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$

Schritt 9.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Schritt 9.2.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 1$

Schritt 9.2.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} + C = 1$

Schritt 9.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.3.1

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 9.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$C = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 9.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$C = \frac{2 - 1}{2}$

Schritt 9.3.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$C = \frac{1}{2}$

Schritt 10

Setze $\frac{1}{2}$ für $C$ in $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 10.1

Ersetze $C$ durch $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{e^{x^{2}}}$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{x^{2}}}$

Schritt 10.2.2

Kombinieren.

$y = \frac{1}{2} + \frac{1 \cdot 1}{2 e^{x^{2}}}$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 e^{x^{2}}}$