Analysis Beispiele

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = \ln (| x |)$ ; con $y (1) = 10$

Schritt 1

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $(x + 1) y$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = y$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

Schritt 1.6

Addiere $1$ und $0$ .

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

Schritt 1.7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Schritt 1.8

Stelle $y$ und $1$ um.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Schritt 2

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = \ln (| x |)$

Schritt 3

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int \ln (| x |) d x$

Schritt 4

Integriere die linke Seite.

$(x + 1) y = \int \ln (| x |) d x$

Schritt 5

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (| x |)$ und $d v = 1$ .

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Schritt 5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

Schritt 5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int d x$

Schritt 5.3

Wende die Konstantenregel an.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - (x + C)$

Schritt 5.4

Vereinfache.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ durch $x + 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ durch $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Schritt 6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\ln (| x |) x - x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Schritt 6.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\ln (| x |) x - x + C}{x + 1}$

Schritt 6.3.4

Stelle die Faktoren in $\ln (| x |) x - x + C$ um.

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$

Schritt 7

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $1$ für $x$ und $10$ für $y$ in $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ ersetzt wird.

$10 = \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$

Schritt 8

Löse nach $C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$ um.

$\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $1 + 1$ .

$(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Schritt 8.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1

Vereinfache $(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1.1.1

Mutltipliziere $\ln (| 1 |)$ mit $1$ .

$(1 + 1) \frac{\ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Schritt 8.3.1.1.1.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$(1 + 1) \frac{\ln (1) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Schritt 8.3.1.1.1.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$(1 + 1) \frac{0 - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Schritt 8.3.1.1.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Schritt 8.3.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1.2.1

Addiere $1$ und $1$ .

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Schritt 8.3.1.1.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Schritt 8.3.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Schritt 8.3.1.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 + C = (1 + 1) \cdot 10$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.1

Vereinfache $(1 + 1) \cdot 10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.1.1

Addiere $1$ und $1$ .

$- 1 + C = 2 \cdot 10$

Schritt 8.3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$- 1 + C = 20$

Schritt 8.4

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = 20 + 1$

Schritt 8.4.2

Addiere $20$ und $1$ .

$C = 21$

Schritt 9

Setze $21$ für $C$ in $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Ersetze $C$ durch $21$ .

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + 21}{x + 1}$