Analysis Beispiele

Löse die Differntialgleichung. (dx)/(dy)=(y^2)/((1-x^2)^(1/2))
Schritt 1
Separiere die Variablen.
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Schritt 1.1
Multipliziere beide Seiten mit .
Schritt 1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.3
Schreibe die Gleichung um.
Schritt 2
Integriere beide Seiten.
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Schritt 2.1
Integriere auf beiden Seiten.
Schritt 2.2
Integriere die linke Seite.
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Schritt 2.2.1
Wende die Regel an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.
Schritt 2.2.2
Sei , mit . Dann ist . Beachte, dass wegen , positiv ist.
Schritt 2.2.3
Vereinfache Terme.
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Schritt 2.2.3.1
Vereinfache .
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Schritt 2.2.3.1.1
Wende den trigonometrischen Pythagoras an.
Schritt 2.2.3.1.2
Multipliziere die Exponenten in .
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Schritt 2.2.3.1.2.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.2.3.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.3.1.3
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 2.2.3.2
Vereinfache.
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Schritt 2.2.3.2.1
Potenziere mit .
Schritt 2.2.3.2.2
Potenziere mit .
Schritt 2.2.3.2.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.2.3.2.4
Addiere und .
Schritt 2.2.4
Benutze die Halbwinkelformel, um als neu zu schreiben.
Schritt 2.2.5
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 2.2.6
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 2.2.7
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 2.2.8
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
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Schritt 2.2.8.1
Es sei . Ermittle .
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Schritt 2.2.8.1.1
Differenziere .
Schritt 2.2.8.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.8.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.8.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.8.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 2.2.9
Kombiniere und .
Schritt 2.2.10
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 2.2.11
Das Integral von nach ist .
Schritt 2.2.12
Vereinfache.
Schritt 2.2.13
Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.
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Schritt 2.2.13.1
Ersetze alle durch .
Schritt 2.2.13.2
Ersetze alle durch .
Schritt 2.2.13.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.2.14
Vereinfache.
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Schritt 2.2.14.1
Kombiniere und .
Schritt 2.2.14.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.2.14.3
Kombiniere und .
Schritt 2.2.14.4
Multipliziere .
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Schritt 2.2.14.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.14.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.15
Stelle die Terme um.
Schritt 2.3
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von nach gleich .
Schritt 2.4
Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als zusammen.