Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x^{4} \sqrt{x^{3}}$ , $y (0) = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = \int x^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = \int x^{4 + \frac{3}{2}} d x$

Schritt 2.3.1.2.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \int x^{4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} d x$

Schritt 2.3.1.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} d x$

Schritt 2.3.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{4 \cdot 2 + 3}{2}} d x$

Schritt 2.3.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.2.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{8 + 3}{2}} d x$

Schritt 2.3.1.2.5.2

Addiere $8$ und $3$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{11}{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{11}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$ ersetzt wird.

$0 = \frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K = 0$ um.

$\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache $\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{2}{13} \cdot {(0^{2})}^{\frac{13}{2}} + K = 0$

Schritt 4.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0^{2 (\frac{13}{2})} + K = 0$

Schritt 4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{13} \cdot 0^{2 (\frac{13}{2})} + K = 0$

Schritt 4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{13} \cdot 0^{13} + K = 0$

Schritt 4.2.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0 + K = 0$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $\frac{2}{13}$ mit $0$ .

$0 + K = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $K$ .

$K = 0$

Schritt 5

Setze $0$ für $K$ in $y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $0$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + 0$

Schritt 5.2

Addiere $\frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$ und $0$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$

Schritt 5.3

Kombiniere $\frac{2}{13}$ und $x^{\frac{13}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{13}{2}}}{13}$