Analysis Beispiele

$y^{2} (x + y + 1) d x + x y (x + 3 y + 2) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y^{2} (x + y + 1)$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} (x + y + 1)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x + y + 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} \frac{d}{d y} [x + y + 1] + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (1 + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (1 + 0) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} \cdot 1 + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.6.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + (x + y + 1) (2 y)$

Schritt 1.3.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + y + 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 \cdot (x + y + 1) y$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + (2 x + 2 y + 2 \cdot 1) y$

Schritt 1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y \cdot y + 2 \cdot 1 y$

Schritt 1.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.3.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 (y^{1} y) + 2 \cdot 1 y$

Schritt 1.4.3.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 (y^{1} y^{1}) + 2 \cdot 1 y$

Schritt 1.4.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y^{1 + 1} + 2 \cdot 1 y$

Schritt 1.4.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + 2 \cdot 1 y$

Schritt 1.4.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.4.3.6

Addiere $y^{2}$ und $2 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x y (x + 3 y + 2)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y (x + 3 y + 2)]$

Schritt 2.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y (x + 3 y + 2)$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x (x + 3 y + 2)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x (x + 3 y + 2)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 3 y + 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x \frac{d}{d x} [x + 3 y + 2] + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3 y + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.3

Da $3 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + 0) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x \cdot 1 + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x + (x + 3 y + 2) \cdot 1)$

Schritt 2.4.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.4.8.1

Mutltipliziere $x + 3 y + 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x + x + 3 y + 2)$

Schritt 2.4.8.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + 3 y + 2)$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + y (3 y) + y \cdot 2$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x + y (3 y) + y \cdot 2$

Schritt 2.5.2.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 (y^{1} y) + y \cdot 2$

Schritt 2.5.2.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 (y^{1} y^{1}) + y \cdot 2$

Schritt 2.5.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 y^{1 + 1} + y \cdot 2$

Schritt 2.5.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 y^{2} + y \cdot 2$

Schritt 2.5.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $3 y^{2} + 2 x y + 2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $3 y^{2} + 2 x y + 2 y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$3 y^{2} + 2 x y + 2 y = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$3 y^{2} + 2 x y + 2 y = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} (x + y + 1) d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = y^{2} (x + y + 1)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = y^{2} \int x + y + 1 d x$

Schritt 5.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = y^{2} (\int x d x + \int y d x + \int d x)$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int y d x + \int d x)$

Schritt 5.4

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + y x + C + \int d x)$

Schritt 5.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C + y x + C + \int d x)$

Schritt 5.6

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C + y x + C + x + C)$

Schritt 5.7

Vereinfache.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) + g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x)]$ .

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Schritt 8.3.1

$y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} + y x + x] + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2} + y x + x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.3.3

Da $\frac{x^{2}}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$y^{2} (0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.3.4

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$y^{2} (0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y^{2} (0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.3.6

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$y^{2} (0 + x \cdot 1 + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y^{2} (0 + x \cdot 1 + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.3.8

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y^{2} (0 + x + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.3.9

Addiere $0$ und $x$ .

$y^{2} (x + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.3.10

Addiere $x$ und $0$ .

$y^{2} x + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.3.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\frac{x^{2}}{2} + y x + x$ .

$y^{2} x + 2 (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$y^{2} x + 2 (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} x + (2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (y x) + 2 x) y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} x + 2 \frac{x^{2}}{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 8.5.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{2} x + \frac{2 x^{2}}{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} x + \frac{2 x^{2}}{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.5.3.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} x + x^{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.5.3.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x (y^{1} y) + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.5.3.4

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x (y^{1} y^{1}) + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.5.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x y^{1 + 1} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.5.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x y^{2} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.5.3.7

Addiere $y^{2} x$ und $2 x y^{2}$ .

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Schritt 8.5.3.7.1

Stelle $y^{2}$ und $x$ um.

$x y^{2} + 2 x y^{2} + x^{2} y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.5.3.7.2

Addiere $x y^{2}$ und $2 x y^{2}$ .

$3 x y^{2} + x^{2} y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 8.5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache $x y (x + 3 y + 2)$ .

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Schritt 9.1.1.1

Forme um.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = 0 + 0 + x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 9.1.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x y (x + 3 y + 2)$

Schritt 9.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x y x + x y (3 y) + x y \cdot 2$

Schritt 9.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1.4.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1.1.4.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x \cdot x y + x y (3 y) + x y \cdot 2$

Schritt 9.1.1.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + x y (3 y) + x y \cdot 2$

Schritt 9.1.1.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y \cdot y + x y \cdot 2$

Schritt 9.1.1.4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x y$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y \cdot y + 2 \cdot (x y)$

Schritt 9.1.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1.1.5.1

Bewege $y$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x (y \cdot y) + 2 \cdot (x y)$

Schritt 9.1.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 \cdot (x y)$

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Schritt 9.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $3 y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x$

Schritt 9.1.2.2

Subtrahiere $x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y$

Schritt 9.1.2.3

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y - 2 x y$

Schritt 9.1.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y - 2 x y$ .

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Schritt 9.1.2.4.1

Ordne die Faktoren in den Termen $3 x y^{2}$ und $- 3 y^{2} x$ neu an.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 y^{2} x + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y - 2 x y$

Schritt 9.1.2.4.2

Subtrahiere $3 y^{2} x$ von $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 x y + 0 - x^{2} y - 2 x y$

Schritt 9.1.2.4.3

Addiere $x^{2} y + 2 x y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 x y - x^{2} y - 2 x y$

Schritt 9.1.2.4.4

Subtrahiere $x^{2} y$ von $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 0 - 2 x y$

Schritt 9.1.2.4.5

Addiere $2 x y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - 2 x y$

Schritt 9.1.2.4.6

Subtrahiere $2 x y$ von $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Schritt 10.3

Das Integral von $0$ nach $y$ ist $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Schritt 10.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (y) = C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + C$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) + C$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = y^{2} \frac{x^{2}}{2} + y^{2} (y x) + y^{2} x + C$

Schritt 12.3

Vereinfache.

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Schritt 12.3.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{2} (y x) + y^{2} x + C$

Schritt 12.3.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.3.2.1

Bewege $y$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y \cdot y^{2} x + y^{2} x + C$

Schritt 12.3.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 12.3.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{1} y^{2} x + y^{2} x + C$

Schritt 12.3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{1 + 2} x + y^{2} x + C$

Schritt 12.3.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$