Analysis Beispiele

$x (v^{2} - 1) d v + (v^{3} - 3 v) d x = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(v^{3} - 3 v) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x (v^{2} - 1) d v = - (v^{3} - 3 v) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x (v^{3} - 3 v)}$ .

$\frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (x (v^{2} - 1)) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (x (v^{2} - 1)) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{v^{3} - 3 v} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Schritt 3.2

Faktorisiere $v$ aus $v^{3} - 3 v$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $v$ aus $v^{3}$ heraus.

$\frac{1}{v \cdot v^{2} - 3 v} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $v$ aus $- 3 v$ heraus.

$\frac{1}{v \cdot v^{2} + v \cdot - 3} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $v$ aus $v \cdot v^{2} + v \cdot - 3$ heraus.

$\frac{1}{v (v^{2} - 3)} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{v (v^{2} - 3)}$ mit $v^{2} - 1$ .

$\frac{v^{2} - 1}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{v^{2} - 1^{2}}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Schritt 3.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = v$ und $b = 1$ .

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Schritt 3.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = - \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (v^{3} - 3 v) d x$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{3} - 3 v$ .

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Schritt 3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)}$ in den Zähler.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{x (v^{3} - 3 v)} (v^{3} - 3 v) d x$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $v^{3} - 3 v$ aus $x (v^{3} - 3 v)$ heraus.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{(v^{3} - 3 v) x} (v^{3} - 3 v) d x$

Schritt 3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{(v^{3} - 3 v) x} (v^{3} - 3 v) d x$

Schritt 3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 4.2.1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 4.2.1.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{v} + \frac{B v + C}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.1.2

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $v (v^{2} - 3)$ .

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v (v^{2} - 3))}{v (v^{2} - 3)} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 4.2.1.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v (v^{2} - 3))}{v (v^{2} - 3)} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.1.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v^{2} - 3)}{v^{2} - 3} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2} - 3$ .

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Schritt 4.2.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v^{2} - 3)}{v^{2} - 3} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.1.3.2.2

Dividiere $(v + 1) (v - 1)$ durch $1$ .

$(v + 1) (v - 1) = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.1.4

Multipliziere $(v + 1) (v - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v (v - 1) + 1 (v - 1) = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 (v - 1) = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.5.1.1

Mutltipliziere $v$ mit $v$ .

$v^{2} + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.1.5.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $v$ .

$v^{2} - 1 \cdot v + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.1.5.1.3

Schreibe $- 1 v$ als $- v$ um.

$v^{2} - v + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.1.5.1.4

Mutltipliziere $v$ mit $1$ .

$v^{2} - v + v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.1.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$v^{2} - v + v - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.1.5.2

Addiere $- v$ und $v$ .

$v^{2} + 0 - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.1.5.3

Addiere $v^{2}$ und $0$ .

$v^{2} - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 4.2.1.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v^{2} - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.1.6.1.2

Dividiere $A (v^{2} - 3)$ durch $1$ .

$v^{2} - 1 = A (v^{2} - 3) + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$v^{2} - 1 = A v^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.1.6.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $A$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2} - 3$ .

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Schritt 4.2.1.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.1.6.4.2

Dividiere $(B v + C) (v)$ durch $1$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + (B v + C) (v)$

Schritt 4.2.1.1.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + B v \cdot v + C v$

Schritt 4.2.1.1.6.6

Multipliziere $v$ mit $v$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.1.6.6.1

Bewege $v$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + B (v \cdot v) + C v$

Schritt 4.2.1.1.6.6.2

Mutltipliziere $v$ mit $v$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + B v^{2} + C v$

Schritt 4.2.1.1.7

Bewege $- 3 A$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} + B v^{2} + C v - 3 A$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 4.2.1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $v^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A + B$

Schritt 4.2.1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $v$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = C$

Schritt 4.2.1.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $v$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 1 = - 3 A$

Schritt 4.2.1.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = - 3 A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = - 3 A$

Schritt 4.2.1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 4.2.1.3.1

Schreibe die Gleichung als $C = 0$ um.

$C = 0$

$1 = A + B$

$- 1 = - 3 A$

Schritt 4.2.1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.2.1.3.2.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 A = - 1$ um.

$- 3 A = - 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

Schritt 4.2.1.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 A = - 1$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 A = - 1$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Schritt 4.2.1.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 4.2.1.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Schritt 4.2.1.3.2.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Schritt 4.2.1.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1.3.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Schritt 4.2.1.3.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $\frac{1}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.2.1.3.3.1

Ersetze alle $A$ in $1 = A + B$ durch $\frac{1}{3}$ .

$1 = (\frac{1}{3}) + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.2.1.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1.3.3.2.1

Entferne die Klammern.

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.2.1.3.4

Löse in $1 = \frac{1}{3} + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 4.2.1.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{3} + B = 1$ um.

$\frac{1}{3} + B = 1$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.2.1.3.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1.3.4.2.1

Subtrahiere $\frac{1}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = 1 - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.2.1.3.4.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$B = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.2.1.3.4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$B = \frac{3 - 1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.2.1.3.4.2.4

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.2.1.3.5

Löse das Gleichungssystem.

$B = \frac{2}{3} A = \frac{1}{3} C = 0$

Schritt 4.2.1.3.6

Liste alle Lösungen auf.

$B = \frac{2}{3}, A = \frac{1}{3}, C = 0$

Schritt 4.2.1.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{v} + \frac{B v + C}{v^{2} - 3}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{2}{3 v} + 0}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{(\frac{2}{3}) v + 0}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.5.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $v$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{2 v}{3} + 0}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.5.2.2

Addiere $\frac{2 v}{3}$ und $0$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{2 v}{3}}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{2 v}{3} \cdot \frac{1}{v^{2} - 3}$

Schritt 4.2.1.5.4

Mutltipliziere $\frac{2 v}{3}$ mit $\frac{1}{v^{2} - 3}$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)}$

Schritt 4.2.1.5.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{v} + \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)}$

Schritt 4.2.1.5.6

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{v}$ .

$\int \frac{1}{3 v} + \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{3 v} d v + \int \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $v$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.4

Das Integral von $\frac{1}{v}$ nach $v$ ist $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.5

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $v$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{v}{v^{2} - 3} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.6

Sei $u = v^{2} - 3$ . Dann ist $d u = 2 v d v$ , folglich $\frac{1}{2} d u = v d v$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.2.6.1

Es sei $u = v^{2} - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d v}$ .

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Schritt 4.2.6.1.1

Differenziere $v^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d v} [v^{2} - 3]$

Schritt 4.2.6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $v^{2} - 3$ nach $v$ $\frac{d}{d v} [v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 3]$ .

$\frac{d}{d v} [v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 3]$

Schritt 4.2.6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 v + \frac{d}{d v} [- 3]$

Schritt 4.2.6.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $v$ gleich $0$ .

$2 v + 0$

Schritt 4.2.6.1.5

Addiere $2 v$ und $0$ .

$2 v$

Schritt 4.2.6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.7

Vereinfache.

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Schritt 4.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.9

Vereinfache.

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Schritt 4.2.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.9.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 4.2.9.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.9.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.9.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.9.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.10

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.11

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.12

Ersetze alle $u$ durch $v^{2} - 3$ .

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) = - \ln (| x |) + C$