Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (3 - y)}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{3 - y}$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{4 (3 - y)}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 - y$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $3 - y$ aus $4 (3 - y)$ heraus.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 4}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 4}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{3 - y} d y = \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 3 - y$ . Dann ist $d u_{1} = - d y$ , folglich $- d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 3 - y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 - y$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u_{2} = 1 - x$ . Dann ist $d u_{2} = - d x$ , folglich $- d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u_{2} = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Bringe ${u_{2}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.3

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- 2}$ nach $u_{2}$ gleich $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe $- 4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ als $- 4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ um.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \frac{4}{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 - x$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \frac{4}{1 - x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| 3 - y |) = \frac{4}{1 - x} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| 3 - y |) = \frac{4}{1 - x} + C$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| 3 - y |) = \frac{4}{1 - x} + C$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 3 - y |)}{- 1} = \frac{\frac{4}{1 - x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (| 3 - y |)}{1} = \frac{\frac{4}{1 - x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $\ln (| 3 - y |)$ durch $1$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4}{1 - x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4}{1 - x} + C}{- 1}$

Schritt 3.1.3.2

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4}{1 - x} + \frac{C (1 - x)}{1 - x}}{- 1}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C (1 - x)}{1 - x}}{- 1}$

Schritt 3.1.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C \cdot 1 + C (- x)}{1 - x}}{- 1}$

Schritt 3.1.3.4.2

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C + C (- x)}{1 - x}}{- 1}$

Schritt 3.1.3.4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C - C x}{1 - x}}{- 1}$

Schritt 3.1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.3.5.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{4 + C - C x}{1 - x}}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - 1 \cdot \frac{4 + C - C x}{1 - x}$

Schritt 3.1.3.5.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{4 + C - C x}{1 - x}$ als $- \frac{4 + C - C x}{1 - x}$ um.

$\ln (| 3 - y |) = - \frac{4 + C - C x}{1 - x}$

Schritt 3.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 3 - y |)} = e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (| 3 - y |) = - \frac{4 + C - C x}{1 - x}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}} = | 3 - y |$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $| 3 - y | = e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$ um.

$| 3 - y | = e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$

Schritt 3.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$3 - y = \pm e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$

Schritt 3.4.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.3.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = \pm e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}} - 3$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{4 + C - C x}{1 - x}$ in zwei Brüche.

$- y = \pm e^{- (\frac{4 + C}{1 - x} + \frac{- C x}{1 - x})} - 3$

Schritt 3.4.3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.2.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{4 + C}{1 - x}$ in zwei Brüche.

$- y = \pm e^{- (\frac{4}{1 - x} + \frac{C}{1 - x} + \frac{- C x}{1 - x})} - 3$

Schritt 3.4.3.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- y = \pm e^{- (\frac{4}{1 - x} + \frac{C}{1 - x} - \frac{C x}{1 - x})} - 3$

Schritt 3.4.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} - - \frac{C x}{1 - x}} - 3$

Schritt 3.4.3.2.4

Multipliziere $- - \frac{C x}{1 - x}$ .

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Schritt 3.4.3.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + 1 \frac{C x}{1 - x}} - 3$

Schritt 3.4.3.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{C x}{1 - x}$ mit $1$ .

$- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}} - 3$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}} - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}} - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.4.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Um $\frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3.2

Um $\frac{- 3}{- 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $1$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 3}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 3}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 3}{- 1}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 3 \cdot - 1}{- - 1}$

Schritt 3.4.4.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 3 \cdot - 1}{1}$

Schritt 3.4.4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}{1}$

Schritt 3.4.4.3.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.3.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{- 4 - C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}{1}$

Schritt 3.4.4.3.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}{1}$

Schritt 3.4.4.3.5.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) - 3 \cdot - 1}{1}$

Schritt 3.4.4.3.5.4

Schreibe $- 1 (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}})$ als $- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}})$ um.

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) - 3 \cdot - 1}{1}$

Schritt 3.4.4.3.5.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) + 3}{1}$

Schritt 3.4.4.3.6

Dividiere $- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) + 3$ durch $1$ .

$y = - (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) + 3$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - (\pm e^{\frac{C + C x}{1 - x}}) + 3$