Analysis Beispiele

$d x + e^{- 5 x} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{- 5 x} d y = - d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ .

$\frac{1}{e^{- 5 x}} e^{- 5 x} d y = \frac{1}{e^{- 5 x}} \cdot - 1 d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 5 x}$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{- 5 x}} e^{- 5 x} d y = \frac{1}{e^{- 5 x}} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 d y = \frac{1}{e^{- 5 x}} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ und $- 1$ .

$1 d y = \frac{- 1}{e^{- 5 x}} d x$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 d y = - \frac{1}{e^{- 5 x}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - \frac{1}{e^{- 5 x}} d x$

Schritt 4.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{- 5 x}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{- 5 x}} d x$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{- 5 x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$y + C_{1} = - \int 1 {(e^{- 5 x})}^{- 1} d x$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- 5 x})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{- 5 x \cdot - 1} d x$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{5 x} d x$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $e^{5 x}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = - \int e^{5 x} d x$

Schritt 4.3.3

Sei $u = 5 x$ . Dann ist $d u = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.3.1

Es sei $u = 5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Differenziere $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 4.3.3.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 4.3.3.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 4.3.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = - \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Schritt 4.3.4

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Schritt 4.3.5

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Schritt 4.3.6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{5} (e^{u} + C_{2})$

Schritt 4.3.7

Vereinfache.

$y + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{u} + C_{2}$

Schritt 4.3.8

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \frac{1}{5} e^{5 x} + K$