Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (2 x + 2)}{x^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x + 2}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{2 x + 2}{x^{2}})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} \frac{2 x + 2}{x^{2}}$ heraus.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (\frac{2 x + 2}{x^{2}}))$

Schritt 1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{2 x + 2}{x^{2}})$

Schritt 1.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 2}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2$ heraus.

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x) + 2}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x) + 2 (1)}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x + 1)}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- y^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{y} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int (x + 1) x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $(x + 1) x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.4.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x^{1} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.4.1.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x)$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2} + \int x^{- 2} d x)$

Schritt 2.3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2} - x^{- 1} + C_{3})$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{y} = 2 (\ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Um $\ln (| x |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{1}{y} = 2 (\frac{\ln (| x |) x}{x} - \frac{1}{x}) + C$

Schritt 3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{y} = 2 \frac{\ln (| x |) x - 1}{x} + C$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $2$ und $\frac{\ln (| x |) x - 1}{x}$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} + C$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, x, 1$

Schritt 3.2.2

Da $y, x, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1$ und anschließend für den variablen Teil $y^{1}, x^{1}$ .

Schritt 3.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 3.2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 3.2.5

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 3.2.6

Der Teiler von $y^{1}$ ist $y$ selbst.

$y^{1} = y$

$y$ occurs $1$ time.

Schritt 3.2.7

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 3.2.8

Das kgV von $y^{1}, x^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$y x$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} + C$ mit $y x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} + C$ mit $y x$ .

$- \frac{1}{y} (y x) = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{y} (y x) = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Schritt 3.3.2.1.2

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$\frac{- 1}{y} (y (x)) = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Schritt 3.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{y} (y x) = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Schritt 3.3.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- x = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $y x$ heraus.

$- x = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (x y) + C (y x)$

Schritt 3.3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- x = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (x y) + C (y x)$

Schritt 3.3.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- x = 2 (\ln (| x |) x - 1) y + C (y x)$

Schritt 3.3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x = (2 (\ln (| x |) x) + 2 \cdot - 1) y + C (y x)$

Schritt 3.3.3.1.3

Multipliziere $2 (\ln (| x |) x)$ .

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Schritt 3.3.3.1.3.1

Stelle $\ln (| x |)$ und $2$ um.

$- x = (2 \cdot \ln (| x |) x + 2 \cdot - 1) y + C (y x)$

Schritt 3.3.3.1.3.2

Vereinfache $2 \cdot \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$- x = (\ln ({| x |}^{2}) x + 2 \cdot - 1) y + C (y x)$

Schritt 3.3.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- x = (\ln ({| x |}^{2}) x - 2) y + C (y x)$

Schritt 3.3.3.1.5

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$- x = (\ln (x^{2}) x - 2) y + C (y x)$

Schritt 3.3.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$- x = \ln (x^{2}) x y - 2 y + C y x$

Schritt 3.3.3.2

Stelle die Faktoren in $\ln (x^{2}) x y - 2 y + C y x$ um.

$- x = x y \ln (x^{2}) - 2 y + C y x$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $x y \ln (x^{2}) - 2 y + C y x = - x$ um.

$x y \ln (x^{2}) - 2 y + C y x = - x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $y$ aus $x y \ln (x^{2}) - 2 y + C y x$ heraus.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y \ln (x^{2})$ heraus.

$y (x \ln (x^{2})) - 2 y + C y x = - x$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y$ heraus.

$y (x \ln (x^{2})) + y \cdot - 2 + C y x = - x$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $y$ aus $C y x$ heraus.

$y (x \ln (x^{2})) + y \cdot - 2 + y (C x) = - x$

Schritt 3.4.2.4

Faktorisiere $y$ aus $y (x \ln (x^{2})) + y \cdot - 2$ heraus.

$y (x \ln (x^{2}) - 2) + y (C x) = - x$

Schritt 3.4.2.5

Faktorisiere $y$ aus $y (x \ln (x^{2}) - 2) + y (C x)$ heraus.

$y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x) = - x$

Schritt 3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x) = - x$ durch $x \ln (x^{2}) - 2 + C x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x) = - x$ durch $x \ln (x^{2}) - 2 + C x$ .

$\frac{y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x)}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x} = \frac{- x}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x \ln (x^{2}) - 2 + C x$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x)}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x} = \frac{- x}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x}$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x}$

Schritt 3.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x}$