Analysis Beispiele

$(e^{x} - y) d x + (e^{y} - x) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = e^{x} - y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} - y]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.2.2

Da $e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $e^{x}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1$

Schritt 1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = e^{y} - x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y} - x]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{y} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.2

Da $e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e^{y}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

Schritt 2.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 1 = - 1$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- 1 = - 1$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{y} - x d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = e^{y} - x$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int e^{y} d y + \int - x d y$

Schritt 5.2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$f (x, y) = e^{y} + C + \int - x d y$

Schritt 5.3

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = e^{y} + C - x y + C$

Schritt 5.4

Vereinfache.

$f (x, y) = e^{y} - x y + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = e^{y} - x y + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x} - y$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y} - x y + g (x)] = e^{x} - y$

Schritt 8.2

Differenziere.

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Schritt 8.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{y} - x y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} - y$

Schritt 8.2.2

Da $e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e^{y}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} - y$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} - y$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} - y$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} - y$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$0 - y + \frac{d g}{d x} = e^{x} - y$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Subtrahiere $y$ von $0$ .

$- y + \frac{d g}{d x} = e^{x} - y$

Schritt 8.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - y = e^{x} - y$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = e^{x} - y + y$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{x} - y + y$ .

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Schritt 9.1.2.1

Addiere $- y$ und $y$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{x} + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $e^{x}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int e^{x} d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int e^{x} d x$

Schritt 10.3

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$g (x) = e^{x} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = e^{y} - x y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = e^{y} - x y + e^{x} + C$