Analysis Beispiele

$(1 - x^{2}) \frac{d y}{d x} + x y = 3 x$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 3 x$

Schritt 1.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{d y}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 3 x$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 x - x y$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $\frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{d y}{d x}$ heraus.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 - x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 x - x y$

Schritt 1.1.3.2

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $- x^{2} \frac{d y}{d x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} (- x^{2}) = 3 x - x y$

Schritt 1.1.3.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} (- x^{2})$ heraus.

$\frac{d y}{d x} (1 - x^{2}) = 3 x - x y$

Schritt 1.1.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} (1^{2} - x^{2}) = 3 x - x y$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} ((1 + x) (1 - x)) = 3 x - x y$

Schritt 1.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x) = 3 x - x y$

Schritt 1.1.6

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x) = 3 x - x y$ durch $(1 + x) (1 - x)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x) = 3 x - x y$ durch $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.1.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 1.1.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.1.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - x)}{1 - x} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 1.1.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - x)}{1 - x} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.1.6.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.1.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x - x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x - x y$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 3 - x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 3 + x (- 1 y)}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 3 + x (- 1 y)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (3 - 1 y)}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.2.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $3 - 1 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 - 1 y)}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 - y)}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} (3 - y)$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{3 - y}$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} (\frac{x}{(1 + x) (1 - x)} (3 - y))$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 - y$ .

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $3 - y$ aus $\frac{x}{(1 + x) (1 - x)} (3 - y)$ heraus.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} ((3 - y) \frac{x}{(1 + x) (1 - x)})$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} ((3 - y) \frac{x}{(1 + x) (1 - x)})$

Schritt 1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{3 - y} d y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 3 - y$ . Dann ist $d u_{1} = - d y$ , folglich $- d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 3 - y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 - y$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x)]$

Schritt 2.3.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 + x$ und $g (x) = 1 - x$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [- x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $1 + x$ .

$- 1 \cdot (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.6.3

Schreibe $- 1 (1 + x)$ als $- (1 + x)$ um.

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.1.1.3.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.1.1.3.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.1.1.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.3.11

Mutltipliziere $1 - x$ mit $1$ .

$- (1 + x) + 1 - x$

Schritt 2.3.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 1 - x + 1 - x$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.1.1.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 - x + 1 - x$

Schritt 2.3.1.1.4.2.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$- x + 0 - x$

Schritt 2.3.1.1.4.2.3

Addiere $- x$ und $0$ .

$- x - x$

Schritt 2.3.1.1.4.2.4

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$- 2 x$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $(1 + x) (1 - x)$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| 3 - y |) = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1

Kombiniere $\ln (| (1 + x) (1 - x) |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) = - \frac{\ln (| (1 + x) (1 - x) |)}{2} + C$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| (1 + x) (1 - x) |)}{2} = C$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere $(1 + x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 (1 - x) + x (1 - x) |)}{2} = C$

Schritt 3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |)}{2} = C$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x + x (- x) |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x - x \cdot x |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x - (x \cdot x) |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x - x^{2} |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 + 0 - x^{2} |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Schritt 3.4

Um $- \ln (| 3 - y |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Schritt 3.5

Kombiniere $- \ln (| 3 - y |)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \ln (| 3 - y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \ln (| 3 - y |) \cdot 2 + \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 \ln (| 3 - y |) + \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Schritt 3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \ln (| 3 - y |)$ heraus.

$\frac{- (2 \ln (| 3 - y |)) + \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Schritt 3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (| 1 - x^{2} |)$ heraus.

$\frac{- (2 \ln (| 3 - y |)) - 1 (- \ln (| 1 - x^{2} |))}{2} = C$

Schritt 3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 \ln (| 3 - y |)) - 1 (- \ln (| 1 - x^{2} |))$ heraus.

$\frac{- (2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |))}{2} = C$

Schritt 3.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.11.1

Schreibe $- (2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |))$ als $- 1 (2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |))$ um.

$\frac{- 1 (2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |))}{2} = C$

Schritt 3.11.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Schritt 3.12

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.12.1

Vereinfache $- \frac{2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |)}{2}$ .

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Schritt 3.12.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.12.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| 3 - y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$- \frac{\ln ({| 3 - y |}^{2}) - \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Schritt 3.12.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| 3 - y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$- \frac{\ln ({(3 - y)}^{2}) - \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Schritt 3.12.1.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x^{2} |})}{2} = C$

Schritt 3.12.1.1.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.12.1.1.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1^{2} - x^{2} |})}{2} = C$

Schritt 3.12.1.1.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})}{2} = C$

Schritt 3.12.1.1.4.3

Multipliziere $(1 + x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.12.1.1.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 (1 - x) + x (1 - x) |})}{2} = C$

Schritt 3.12.1.1.4.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |})}{2} = C$

Schritt 3.12.1.1.4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |})}{2} = C$

Schritt 3.12.1.1.4.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.12.1.1.4.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.12.1.1.4.4.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |})}{2} = C$

Schritt 3.12.1.1.4.4.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |})}{2} = C$

Schritt 3.12.1.1.4.4.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x + x (- x) |})}{2} = C$

Schritt 3.12.1.1.4.4.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x - x \cdot x |})}{2} = C$

Schritt 3.12.1.1.4.4.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.12.1.1.4.4.1.5.1

Bewege $x$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x - (x \cdot x) |})}{2} = C$

Schritt 3.12.1.1.4.4.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x - x^{2} |})}{2} = C$

Schritt 3.12.1.1.4.4.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 + 0 - x^{2} |})}{2} = C$

Schritt 3.12.1.1.4.4.3

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x^{2} |})}{2} = C$

Schritt 3.12.1.1.4.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1^{2} - x^{2} |})}{2} = C$

Schritt 3.12.1.1.4.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})}{2} = C$

Schritt 3.12.1.2

Schreibe $\frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})$ um.

$- (\frac{1}{2} \ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})) = C$

Schritt 3.12.1.3

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$- \ln ({(\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.12.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |}$ an.

$- \ln (\frac{{({(3 - y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.12.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.12.1.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 - y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.12.1.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (\frac{{(3 - y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.12.1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.12.1.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \ln (\frac{{(3 - y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.12.1.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \ln (\frac{{(3 - y)}^{1}}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.12.1.5.2

Vereinfache.

$- \ln (\frac{3 - y}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.12.1.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.12.1.6.1

Multipliziere $(1 + x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.12.1.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 (1 - x) + x (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.12.1.6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.12.1.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.12.1.6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.12.1.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.12.1.6.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.12.1.6.2.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.12.1.6.2.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x + x (- x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.12.1.6.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x - x \cdot x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.12.1.6.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.12.1.6.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x - (x \cdot x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.12.1.6.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.12.1.6.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 + 0 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.12.1.6.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.13

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.13.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})}{- 1} = \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.13.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.13.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})}{1} = \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.13.2.2

Dividiere $\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})$ durch $1$ .

$\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.13.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.13.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = - 1 \cdot C$

Schritt 3.13.3.2

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = - C$

Schritt 3.14

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{- C}$

Schritt 3.15

Schreibe $\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = - C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.16

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.16.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{- C}$ um.

$\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{- C}$

Schritt 3.16.2

Multipliziere beide Seiten mit ${| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.16.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.16.3.1

Vereinfache $\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.16.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.16.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.16.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 - y = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.16.3.1.2

Stelle $3$ und $- y$ um.

$- y + 3 = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.16.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.16.4.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 3$

Schritt 3.16.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.16.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.16.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.16.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.16.4.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.16.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.16.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.16.4.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.16.4.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ als $- (e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ um.

$y = - (e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.16.4.2.3.1.3

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$y = - e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} + 3$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = C {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} + 3$