Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} y = 0$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} d x}$

Schritt 1.2

Integriere $\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ .

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Schritt 1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$e^{5 \int \frac{x^{2}}{e^{3 x^{3}}} d x}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.2.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{3 x^{3}}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$e^{5 \int x^{2} {(e^{3 x^{3}})}^{- 1} d x}$

Schritt 1.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{3 x^{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{5 \int x^{2} e^{3 x^{3} \cdot - 1} d x}$

Schritt 1.2.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$e^{5 \int x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x}$

Schritt 1.2.3

Sei $u_{2} = e^{- 3 x^{3}}$ . Dann ist $d u_{2} = - 9 x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x$ , folglich $- \frac{1}{9} d u_{2} = x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Es sei $u_{2} = e^{- 3 x^{3}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.2.3.1.1

Differenziere $e^{- 3 x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x^{3}}]$

Schritt 1.2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 3 x^{3}$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- 3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Schritt 1.2.3.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- 3 x^{3}$ .

$e^{- 3 x^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Schritt 1.2.3.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.2.3.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- 3 x^{3}} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.2.3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$e^{- 3 x^{3}} (- 3 (3 x^{2}))$

Schritt 1.2.3.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$e^{- 3 x^{3}} (- 9 x^{2})$

Schritt 1.2.3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{- 3 x^{3}} (- 9 x^{2})$ um.

$- 9 e^{- 3 x^{3}} x^{2}$

Schritt 1.2.3.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- 9 e^{- 3 x^{3}} x^{2}$ um.

$- 9 x^{2} e^{- 3 x^{3}}$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{5 \int \frac{1}{- 9} d u_{2}}$

Schritt 1.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{5 \int - \frac{1}{9} d u_{2}}$

Schritt 1.2.5

Wende die Konstantenregel an.

$e^{5 (- \frac{1}{9} u_{2} + C)}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache.

$e^{5 (- \frac{1}{9} u_{2}) + C}$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.2.1

Kombiniere $u_{2}$ und $\frac{1}{9}$ .

$e^{5 (- \frac{u_{2}}{9}) + C}$

Schritt 1.2.6.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$e^{- 5 \frac{u_{2}}{9} + C}$

Schritt 1.2.6.2.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{u_{2}}{9}$ .

$e^{\frac{- 5 u_{2}}{9} + C}$

Schritt 1.2.6.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- \frac{5 u_{2}}{9} + C}$

Schritt 1.2.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{- 3 x^{3}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} + C}$

Schritt 1.2.6.4

Stelle die Terme um.

$e^{- \frac{5}{9} e^{- 3 x^{3}} + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \frac{5}{9} e^{- 3 x^{3}}}$

Schritt 1.4

Kombiniere $e^{- 3 x^{3}}$ und $\frac{5}{9}$ .

$e^{- \frac{e^{- 3 x^{3}} \cdot 5}{9}}$

Schritt 1.5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{- 3 x^{3}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ und $y$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{5 x^{2} y}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ und $\frac{5 x^{2} y}{e^{3 x^{3}}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (5 x^{2} y)}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ und $e^{3 x^{3}}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $e^{3 x^{3}}$ aus $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (5 x^{2} y)$ heraus.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Schritt 2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}} \cdot 1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}} \cdot 1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Schritt 2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y)}{1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Schritt 2.2.3.2.4

Dividiere $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y)$ durch $1$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Schritt 2.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ mit $0$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = 0$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = 0$ um.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 x^{2} y e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} = 0$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y] = 0$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y] d x = \int 0 d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = \int 0 d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = 0 + C$

Schritt 6.2

Addiere $0$ und $C$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$ durch $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$ durch $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

$\frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}} = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}} = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$