Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3$ , $y (9) = 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int 3 d x$

Schritt 2.3.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 3 d x$

Schritt 2.3.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 3 d x$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 3 d x$

Schritt 2.3.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 3 d x$

Schritt 2.3.3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 3 d x$

Schritt 2.3.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 3 d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + \int 3 d x$

Schritt 2.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$y + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + 3 x + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $9$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ ersetzt wird.

$1 = 3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$ um.

$3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Schritt 4.2

Vereinfache $3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$27 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$27 + {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Schritt 4.2.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 + 3^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

Schritt 4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 + 3^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

Schritt 4.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$27 + 3^{1} + K = 1$

Schritt 4.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$27 + 3 + K = 1$

Schritt 4.2.2

Addiere $27$ und $3$ .

$30 + K = 1$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $30$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 1 - 30$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $30$ von $1$ .

$K = - 29$

Schritt 5

Setze $- 29$ für $K$ in $y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- 29$ .

$y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} - 29$