Analysis Beispiele

$\frac{d P}{d C} = \frac{- 216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d P = \frac{- 216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d P = \int \frac{- 216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$P + C_{1} = \int \frac{- 216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$P + C_{1} = \int - \frac{216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Schritt 2.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $C$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$P + C_{1} = - \int \frac{216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Schritt 2.3.3

Da $216$ konstant bezüglich $C$ ist, ziehe $216$ aus dem Integral.

$P + C_{1} = - (216 \int \frac{1}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C)$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $216$ mit $- 1$ .

$P + C_{1} = - 216 \int \frac{1}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Schritt 2.3.5

Sei $u = C + 1$ . Dann ist $d u = d C$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.5.1

Es sei $u = C + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d C}$ .

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Schritt 2.3.5.1.1

Differenziere $C + 1$ .

$\frac{d}{d C} [C + 1]$

Schritt 2.3.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $C + 1$ nach $C$ $\frac{d}{d C} [C] + \frac{d}{d C} [1]$ .

$\frac{d}{d C} [C] + \frac{d}{d C} [1]$

Schritt 2.3.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d C} [C^{n}]$ gleich $n C^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d C} [1]$

Schritt 2.3.5.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $C$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $C$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$P + C_{1} = - 216 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 2.3.6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.6.1

Bringe $u^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$P + C_{1} = - 216 \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3.6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$P + C_{1} = - 216 \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.6.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.6.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$P + C_{1} = - 216 \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Schritt 2.3.6.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$P + C_{1} = - 216 \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Schritt 2.3.6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$P + C_{1} = - 216 \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 2.3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$P + C_{1} = - 216 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.1

Schreibe $- 216 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{2})$ als $- 216 (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C_{2}$ um.

$P + C_{1} = - 216 (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C_{2}$

Schritt 2.3.8.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$P + C_{1} = - 216 \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$P + C_{1} = - 216 (- \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}) + C_{2}$

Schritt 2.3.8.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 216$ .

$P + C_{1} = 216 \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8.2.4

Kombiniere $216$ und $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$P + C_{1} = \frac{216 \cdot 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8.2.5

Mutltipliziere $216$ mit $2$ .

$P + C_{1} = \frac{432}{u^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Schritt 2.3.9

Ersetze alle $u$ durch $C + 1$ .

$P + C_{1} = \frac{432}{{(C + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$P = \frac{432}{{(C + 1)}^{\frac{1}{2}}} + K$