Analysis Beispiele

$(2 x e^{y} + e^{x}) d x + (x^{2} + 1) e^{y} d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x e^{y} + e^{x}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{y} + e^{x}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x e^{y} + e^{x}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x e^{y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x e^{y}$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ gleich $a^{y} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y} + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Schritt 1.4

Da $e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $e^{x}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y} + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $2 x e^{y}$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y}$

Schritt 1.5.2

Stelle die Faktoren von $2 x e^{y}$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{y} x$

Schritt 1.5.3

Stelle die Faktoren in $2 e^{y} x$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y}]$

Schritt 2.2

Da $e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $(x^{2} + 1) e^{y}$ nach $x$ gleich $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (2 x + 0)$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (2 x)$

Schritt 2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot e^{y} x$

Schritt 2.6.3

Stelle die Faktoren in $2 e^{y} x$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x e^{y}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 x e^{y}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x e^{y}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x e^{y} = 2 x e^{y}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$2 x e^{y} = 2 x e^{y}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int (x^{2} + 1) e^{y} d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Da $x^{2} + 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $x^{2} + 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = (x^{2} + 1) \int e^{y} d y$

Schritt 5.2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$f (x, y) = (x^{2} + 1) (e^{y} + C)$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$f (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y} + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x e^{y} + e^{x}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y} + g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $(x^{2} + 1) e^{y} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y}]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $(x^{2} + 1) e^{y}$ nach $x$ gleich $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Schritt 8.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Schritt 8.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{y} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Schritt 8.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{y} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Schritt 8.3.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Schritt 8.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{y}$ .

$2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$2 e^{y} x + \frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} + e^{x}$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{y} x = 2 x e^{y} + e^{x}$

Schritt 8.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d x} + 2 e^{y} x$ um.

$\frac{d g}{d x} + 2 x e^{y} = 2 x e^{y} + e^{x}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $2 x e^{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} + e^{x} - 2 x e^{y}$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x e^{y} + e^{x} - 2 x e^{y}$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $2 x e^{y}$ von $2 x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + e^{x}$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $0$ und $e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $e^{x}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int e^{x} d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int e^{x} d x$

Schritt 10.3

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$g (x) = e^{x} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y} + e^{x} + C$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = x^{2} e^{y} + 1 e^{y} + e^{x} + C$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $e^{y}$ mit $1$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{y} + e^{y} + e^{x} + C$