Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}} - 1}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ als ${(\frac{y}{x})}^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{(\frac{y}{x})}^{2} - 1}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V^{2} - 1}$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{2} - 1}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{2} - 1^{2}}$

Schritt 6.1.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = V$ und $b = 1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

Schritt 6.1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} - V$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} - V$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

Schritt 6.1.1.2.2.2

Addiere $0$ und $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ .

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Schritt 6.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Schritt 6.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 6.2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Multipliziere $(V + 1) (V - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.2.2.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$V (V - 1) + 1 (V - 1)$

Schritt 6.2.2.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1)$

Schritt 6.2.2.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.2.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1.2.1.1

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1$

Schritt 6.2.2.1.1.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $V$ .

$V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1$

Schritt 6.2.2.1.1.2.1.3

Schreibe $- 1 V$ als $- V$ um.

$V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1$

Schritt 6.2.2.1.1.2.1.4

Mutltipliziere $V$ mit $1$ .

$V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1$

Schritt 6.2.2.1.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$V^{2} - V + V - 1$

Schritt 6.2.2.1.1.2.2

Addiere $- V$ und $V$ .

$V^{2} + 0 - 1$

Schritt 6.2.2.1.1.2.3

Addiere $V^{2}$ und $0$ .

$V^{2} - 1$

Schritt 6.2.2.1.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 0$

$c = - 1$

Schritt 6.2.2.1.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 6.2.2.1.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 6.2.2.1.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{0}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.2.1.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Schritt 6.2.2.1.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.2.1.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{0}{1}$

Schritt 6.2.2.1.4.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$d = 0$

Schritt 6.2.2.1.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 6.2.2.1.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.2.2.1.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.5.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e = - 1 - \frac{0}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.2.2.1.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = - 1 - \frac{0}{4}$

Schritt 6.2.2.1.5.2.1.3

Dividiere $0$ durch $4$ .

$e = - 1 - 0$

Schritt 6.2.2.1.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = - 1 + 0$

Schritt 6.2.2.1.5.2.2

Addiere $- 1$ und $0$ .

$e = - 1$

Schritt 6.2.2.1.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(V + 0)}^{2} - 1$ ein.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(V + 0)}^{2} - 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Sei $u = V + 0$ . Dann ist $d u = d V$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.2.1

Es sei $u = V + 0$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Differenziere $V + 0$ .

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $V + 0$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

Schritt 6.2.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

Schritt 6.2.2.2.1.4

Da $0$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.2.2.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Sei $u = \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.2.4.1

Vereinfache $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Schritt 6.2.2.4.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (t)$ .

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Schritt 6.2.2.4.2.1

Faktorisiere $\tan (t)$ aus $\sec (t) \tan (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \sec (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 6.2.2.6.1

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (u)$ .

$\ln (| \sec (arcsec (u)) + \tan (arcsec (u)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6.2

Ersetze alle $u$ durch $V + 0$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V + 0)) + \tan (arcsec (V + 0)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.7.1

Addiere $V$ und $0$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V + 0)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7.2

Addiere $V$ und $0$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 6.3.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |}{| x |}) = C$

Schritt 6.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.3.1

Die Funktionen Sekans und Arkussekans sind Inverse.

$\ln (\frac{| V + \tan (arcsec (V)) |}{| x |}) = C$

Schritt 6.3.3.2

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \sqrt{V^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $arcsec (V)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \sqrt{V^{2} - 1^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\tan (arcsec (V))$ $\sqrt{V^{2} - 1}$ .

$\ln (\frac{| V + \sqrt{V^{2} - 1} |}{| x |}) = C$

Schritt 6.3.3.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\ln (\frac{| V + \sqrt{V^{2} - 1^{2}} |}{| x |}) = C$

Schritt 6.3.3.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = V$ und $b = 1$ .

$\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}) = C$

Schritt 6.3.4

Um nach $V$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |})} = e^{C}$

Schritt 6.3.5

Schreibe $\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}$

Schritt 6.3.6

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} = e^{C}$ um.

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} = e^{C}$

Schritt 6.3.6.2

Multipliziere beide Seiten mit $| x |$ .

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Schritt 6.3.6.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| x |$ .

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Schritt 6.3.6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Schritt 6.3.6.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} | = e^{C} | x |$

Schritt 6.3.6.4

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.6.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{C} | x |$ um.

$| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} | = | x | e^{C}$

Schritt 6.3.6.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm | x | e^{C}$

Schritt 6.3.6.4.3

Löse nach $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ auf.

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Schritt 6.3.6.4.3.1

Stelle die Faktoren in $\pm | x | e^{C}$ um.

$V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm e^{C} | x |$

Schritt 6.3.6.4.3.2

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm e^{C} | x | - V$

Schritt 6.3.6.4.4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}^{2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Schritt 6.3.6.4.5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.6.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ als ${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Schritt 6.3.6.4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.6.4.5.2.1

Vereinfache ${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.6.4.5.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.6.4.5.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Schritt 6.3.6.4.5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.6.4.5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Schritt 6.3.6.4.5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${((V + 1) (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Schritt 6.3.6.4.5.2.1.2

Multipliziere $(V + 1) (V - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.6.4.5.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(V (V - 1) + 1 (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Schritt 6.3.6.4.5.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Schritt 6.3.6.4.5.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Schritt 6.3.6.4.5.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.6.4.5.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.6.4.5.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

${(V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Schritt 6.3.6.4.5.2.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $V$ .

${(V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Schritt 6.3.6.4.5.2.1.3.1.3

Schreibe $- 1 V$ als $- V$ um.

${(V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Schritt 6.3.6.4.5.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $V$ mit $1$ .

${(V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Schritt 6.3.6.4.5.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${(V^{2} - V + V - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Schritt 6.3.6.4.5.2.1.3.2

Addiere $- V$ und $V$ .

${(V^{2} + 0 - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Schritt 6.3.6.4.5.2.1.3.3

Addiere $V^{2}$ und $0$ .

${(V^{2} - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Schritt 6.3.6.4.5.2.1.4

Vereinfache.

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Schritt 6.3.6.4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.6.4.5.3.1

Vereinfache ${(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.6.4.5.3.1.1

Schreibe ${(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$ als $(\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$ um.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$

Schritt 6.3.6.4.5.3.1.2

Multipliziere $(\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.6.4.5.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x | - V) - V (\pm e^{C} | x | - V)$

Schritt 6.3.6.4.5.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x | - V)$

Schritt 6.3.6.4.5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1

Multipliziere $(\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |)$ .

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Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.1

Potenziere $\pm e^{C} | x |$ mit $1$ .

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1} (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.2

Potenziere $\pm e^{C} | x |$ mit $1$ .

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1} {(\pm e^{C} | x |)}^{1} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1 + 1} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.1.2

Remove the plus-minus sign on $\pm e^{C} | x |$ because it is raised to an even power.

$V^{2} - 1 = {(e^{C} | x |)}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.1.3

Wende die Produktregel auf $e^{C} | x |$ an.

$V^{2} - 1 = {(e^{C})}^{2} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{C})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V^{2} - 1 = e^{C \cdot 2} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.1.5

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 V \cdot V$

Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8

Multipliziere $V$ mit $V$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8.1

Bewege $V$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 (V \cdot V)$

Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8.2

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 V^{2}$

Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) + 1 V^{2}$

Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.1.10

Mutltipliziere $V^{2}$ mit $1$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.2

Subtrahiere $V (\pm e^{C} | x |)$ von $- (\pm e^{C} | x |) V$ .

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Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.2.1

Bewege $\pm e^{C} | x |$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - 1 V (\pm e^{C} | x |) - V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Schritt 6.3.6.4.5.3.1.3.2.2

Subtrahiere $V (\pm e^{C} | x |)$ von $- 1 V (\pm e^{C} | x |)$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Schritt 6.3.6.4.5.3.1.4

Stelle die Faktoren in $e^{2 C} x^{2} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$ um.

$V^{2} - 1 = x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Schritt 6.3.6.4.6

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.6.4.6.1

Da $V$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} = V^{2} - 1$

Schritt 6.3.6.4.6.2

Bringe alle Terme, die $V$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.6.4.6.2.1

Subtrahiere $V^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} - V^{2} = - 1$

Schritt 6.3.6.4.6.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} - V^{2}$ .

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Schritt 6.3.6.4.6.2.2.1

Subtrahiere $V^{2}$ von $V^{2}$ .

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + 0 = - 1$

Schritt 6.3.6.4.6.2.2.2

Addiere $x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |)$ und $0$ .

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1$

Schritt 6.3.6.4.6.3

Subtrahiere $x^{2} e^{2 C}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$

Schritt 6.3.6.4.6.4

Teile jeden Ausdruck in $- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$ durch $- 2 (\pm e^{C} | x |)$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.6.4.6.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$ durch $- 2 (\pm e^{C} | x |)$ .

$\frac{- 2 V (\pm e^{C} | x |)}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Schritt 6.3.6.4.6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.6.4.6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 6.3.6.4.6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 V (\pm e^{C} | x |)}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Schritt 6.3.6.4.6.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{V (\pm e^{C} | x |)}{\pm e^{C} | x |} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Schritt 6.3.6.4.6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\pm e^{C} | x |$ .

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Schritt 6.3.6.4.6.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V (\pm e^{C} | x |)}{\pm e^{C} | x |} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Schritt 6.3.6.4.6.4.2.2.2

Dividiere $V$ durch $1$ .

$V = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Schritt 6.3.6.4.6.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.6.4.6.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.6.4.6.4.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$V = \frac{1}{2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Schritt 6.3.6.4.6.4.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$V = \frac{1}{2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{x^{2} e^{2 C}}{2 (\pm e^{C} | x |)}$

Schritt 6.4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \frac{1}{2 (\pm C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (\pm C | x |)}$

Schritt 6.4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$V = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (\pm C | x |)}$

Schritt 6.4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$V = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Schritt 8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache $(\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $C$ .

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Schritt 8.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Schritt 8.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2}}{2 | x |}) x$

Schritt 8.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{2 C | x |} x + \frac{x^{2}}{2 | x |} x$

Schritt 8.2.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2 C | x |}$ und $x$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2}}{2 | x |} x$

Schritt 8.2.2.1.4

Multipliziere $\frac{x^{2}}{2 | x |} x$ .

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Schritt 8.2.2.1.4.1

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2 | x |}$ und $x$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2} x}{2 | x |}$

Schritt 8.2.2.1.4.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.2.1.4.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 8.2.2.1.4.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2} x^{1}}{2 | x |}$

Schritt 8.2.2.1.4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2 + 1}}{2 | x |}$

Schritt 8.2.2.1.4.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{3}}{2 | x |}$