Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 4}{x}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{x - 4}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{x - 4}{x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{x - 4}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$y + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{- 4}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{- 4}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{- 4}{x} d x$

Schritt 2.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \int d x + \int \frac{- 4}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = \int d x + \int - \frac{4}{x} d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{4}{x} d x$

Schritt 2.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{4}{x} d x$

Schritt 2.3.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = x + C_{2} - (4 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} - 4 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.8

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} - 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

$y + C_{1} = x - 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = x - 4 \ln (| x |) + C$