Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Spalte $\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$ auf und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - x y}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x y$ heraus.

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Schritt 1.1.2.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x - x y}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 1 y)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 1 y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.1.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.3

Zerlege den Bruch $\frac{x - y}{y}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.4.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{x y}$

Schritt 1.1.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.5.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{y x}$

Schritt 1.1.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{y x}$

Schritt 1.1.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y}{x}$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{x}{y}$ als ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} - 1 + \frac{y}{x}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{- 1} - 1 + V$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 1} - 1 + V$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{V} - 1 + V$

Schritt 6.1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + V - V$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{1}{V} - 1 + V - V$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + 0$

Schritt 6.1.1.2.2.2

Addiere $\frac{1}{V} - 1$ und $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.3.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{- 1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.1.2.1

Um $- \frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{V}{V}$

Schritt 6.1.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $V x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{x V}$

Schritt 6.1.2.2.2

Stelle die Faktoren von $x V$ um.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{V x}$

Schritt 6.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V x}$

Schritt 6.1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{V}{1 - V}$ .

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} (\frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.5

Vereinfache.

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Schritt 6.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{1 - V}{V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

Schritt 6.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V$ .

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Schritt 6.1.5.2.1

Faktorisiere $V$ aus $V x$ heraus.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V (x)}$

Schritt 6.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

Schritt 6.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

Schritt 6.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - V$ .

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Schritt 6.1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

Schritt 6.1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{V}{1 - V} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{V}{1 - V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Stelle $1$ und $- V$ um.

$\int \frac{V}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Dividiere $V$ durch $- V + 1$ .

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Schritt 6.2.2.2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$V$

$1$

$V$

$0$

Schritt 6.2.2.2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $V$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $- V$ .

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$

Schritt 6.2.2.2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				+	$V$	-	$1$

Schritt 6.2.2.2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $V - 1$

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$

Schritt 6.2.2.2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$
						+	$1$

Schritt 6.2.2.2.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int - 1 + \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 1 d V + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$- V + C_{1} + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Sei $u = - V + 1$ . Dann ist $d u = - d V$ , folglich $- d u = d V$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.5.1

Es sei $u = - V + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.5.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 6.2.2.5.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 6.2.2.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- V + C_{1} + \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- V + C_{1} + \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- V + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- V + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.9

Vereinfache.

$- V - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.10

Ersetze alle $u$ durch $- V + 1$ .

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- V - \ln (| - V + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 8

Löse $- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) - \ln (| x |) = \frac{y}{x} + C$

Schritt 8.2

Addiere $\ln (| x |)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$

Schritt 8.3

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{- 1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 8.3.2.2

Dividiere $\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)$ durch $1$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 8.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{y}{x}}{- 1}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - 1 \cdot \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 8.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{y}{x}$ als $- \frac{y}{x}$ um.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 8.3.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 8.3.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 8.3.3.1.5

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Schritt 8.3.3.1.6

Schreibe $- 1 \cdot \ln (| x |)$ als $- \ln (| x |)$ um.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - \ln (| x |)$

Schritt 8.4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) + \ln (| x |) = - \frac{y}{x} - C$

Schritt 8.5

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 | | x |) = - \frac{y}{x} - C$

Schritt 8.6

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| (- \frac{y}{x} + 1) x |) = - \frac{y}{x} - C$

Schritt 8.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| - \frac{y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Schritt 8.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{x}$ in den Zähler.

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Schritt 8.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Schritt 8.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| - y + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Schritt 8.9

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (| - y + x |) = - \frac{y}{x} - C$