Analysis Beispiele

$(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$ durch $y^{2} + x^{2} y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$ durch $y^{2} + x^{2} y^{2}$ .

$\frac{(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x}}{y^{2} + x^{2} y^{2}} = \frac{1}{y^{2} + x^{2} y^{2}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + x^{2} y^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x}}{y^{2} + x^{2} y^{2}} = \frac{1}{y^{2} + x^{2} y^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + x^{2} y^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} + x^{2} y^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.3.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} \cdot 1 + x^{2} y^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x^{2} y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} (1 + x^{2})}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{y^{2}}$ mit $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (1 + x^{2})}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (1 + x^{2})}$

Schritt 1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$y^{2} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = \arctan (x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\arctan (x) + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\arctan (x) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\arctan (x) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (\arctan (x) + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 \arctan (x) + 3 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{3 \arctan (x) + 3 K}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $3$ aus $3 \arctan (x) + 3 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \arctan (x)$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (\arctan (x)) + 3 K}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $3$ aus $3 (\arctan (x)) + 3 K$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (\arctan (x) + K)}$