Analysis Beispiele

$\frac{3 y^{2} + 1}{y^{3} + y} \cdot \frac{d y}{d x} = 2 x$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{3 y^{2} + 1}{y^{3} + y} \cdot d y = 2 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{3 y^{2} + 1}{y^{3} + y} d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = y^{3} + y$ . Dann ist $d u = (3 y^{2} + 1) d y$ , folglich $\frac{1}{3 y^{2} + 1} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = y^{3} + y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y^{3} + y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} + y]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 y^{2} + 1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y^{3} + y$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y^{3} + y |) = x^{2} + C$