Analysis Beispiele

$\frac{d T}{d x} = 21 x^{6}$ , $T (0) = 8$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d T = 21 x^{6} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d T = \int 21 x^{6} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$T + C_{1} = \int 21 x^{6} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $21$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $21$ aus dem Integral.

$T + C_{1} = 21 \int x^{6} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$T + C_{1} = 21 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Schreibe $21 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2})$ als $21 (\frac{1}{7}) x^{7} + C_{2}$ um.

$T + C_{1} = 21 (\frac{1}{7}) x^{7} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $21$ und $\frac{1}{7}$ .

$T + C_{1} = \frac{21}{7} x^{7} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $7$ aus $21$ heraus.

$T + C_{1} = \frac{7 \cdot 3}{7} x^{7} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$T + C_{1} = \frac{7 \cdot 3}{7 (1)} x^{7} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$T + C_{1} = \frac{7 \cdot 3}{7 \cdot 1} x^{7} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$T + C_{1} = \frac{3}{1} x^{7} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$T + C_{1} = 3 x^{7} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$T = 3 x^{7} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $8$ für $T$ in $T = 3 x^{7} + K$ ersetzt wird.

$8 = 3 \cdot 0^{7} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $3 \cdot 0^{7} + K = 8$ um.

$3 \cdot 0^{7} + K = 8$

Schritt 4.2

Vereinfache $3 \cdot 0^{7} + K$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 \cdot 0 + K = 8$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0 + K = 8$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $K$ .

$K = 8$

Schritt 5

Setze $8$ für $K$ in $T = 3 x^{7} + K$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $8$ .

$T = 3 x^{7} + 8$