Analysis Beispiele

cari $\frac{d y}{d x}$ jika $4 x y - 3 y = 1$

Schritt 1

Schreibe das Problem als einen mathematischen Ausdruck.

$\frac{d y}{d x} \cdot 4 x y - 3 y = 1$

Schritt 2

Separiere die Variablen.

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Schritt 2.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 2.1.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\frac{d y}{d x}$ .

$4 \frac{d y}{d x} x y - 3 y = 1$

Schritt 2.1.2

Addiere $3 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$

Schritt 2.1.3

Teile jeden Ausdruck in $4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$ durch $4 x y$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$ durch $4 x y$ .

$\frac{4 \frac{d y}{d x} x y}{4 x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Schritt 2.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \frac{d y}{d x} x y}{4 x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Schritt 2.1.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x} x y}{x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Schritt 2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} x y}{x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Schritt 2.1.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x} y}{y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Schritt 2.1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.1.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} y}{y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Schritt 2.1.3.2.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.1.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Schritt 2.1.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3}{4 x}$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.1

Um $\frac{3}{4 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3}{4 x} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{3}{4 x}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Schritt 2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 3 y}{4 x y}$

Schritt 2.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 3 y}{4 y} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{4 y}{1 + 3 y}$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} (\frac{1 + 3 y}{4 y} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $\frac{1 + 3 y}{4 y}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y x}$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 y$ .

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $4 y$ aus $4 y x$ heraus.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y (x)}$

Schritt 2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y x}$

Schritt 2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{x}$

Schritt 2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 3 y$ .

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{x}$

Schritt 2.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 2.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} d y = \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{4 y}{1 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \frac{y}{1 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.2

Stelle $1$ und $3 y$ um.

$4 \int \frac{y}{3 y + 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.3

Dividiere $y$ durch $3 y + 1$ .

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Schritt 3.2.3.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 y$

$1$

$y$

$0$

Schritt 3.2.3.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 y$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Schritt 3.2.3.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$\frac{1}{3}$

Schritt 3.2.3.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y + \frac{1}{3}$

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{3}$

Schritt 3.2.3.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{3}$
					-	$\frac{1}{3}$

Schritt 3.2.3.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$4 \int \frac{1}{3} - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$4 (\int \frac{1}{3} d y + \int - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.5

Wende die Konstantenregel an.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} + \int - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} - \int \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.7

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 y + 1} d y)) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 y + 1} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.9

Sei $u = 3 y + 1$ . Dann ist $d u = 3 d y$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.2.9.1

Es sei $u = 3 y + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 3.2.9.1.1

Differenziere $3 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [3 y + 1]$

Schritt 3.2.9.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.2.9.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Schritt 3.2.9.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.2.9.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.2.9.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.2.9.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.2.9.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 3.2.9.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 3.2.9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.10

Vereinfache.

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Schritt 3.2.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.10.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.11

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.12

Vereinfache.

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Schritt 3.2.12.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.12.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{9} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.13

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{9} (\ln (| u |) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.14

Vereinfache.

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| u |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.15

Ersetze alle $u$ durch $3 y + 1$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) = \ln (| x |) + C$