Analysis Beispiele

$\frac{- 2 y}{t^{3}} d t + \frac{1}{t^{2}} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{- 2 y}{t^{3}} d t$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{t^{2}} d y = - \frac{- 2 y}{t^{3}} d t$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{t^{2}}{y}$ .

$\frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{1}{t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} (- \frac{- 2 y}{t^{3}}) d t$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombinieren.

$\frac{t^{2} \cdot 1}{y t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} (- \frac{- 2 y}{t^{3}}) d t$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t^{2} \cdot 1}{y t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} (- \frac{- 2 y}{t^{3}}) d t$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2}}{y} (- \frac{- 2 y}{t^{3}}) d t$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{- 2 y}{t^{3}} d t$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{2}$ .

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Schritt 3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{t^{2}}{y}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- t^{2}}{y} \cdot \frac{- 2 y}{t^{3}} d t$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $t^{2}$ aus $- t^{2}$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} \cdot - 1}{y} \cdot \frac{- 2 y}{t^{3}} d t$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{3}$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} \cdot - 1}{y} \cdot \frac{- 2 y}{t^{2} t} d t$

Schritt 3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} \cdot - 1}{y} \cdot \frac{- 2 y}{t^{2} t} d t$

Schritt 3.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{- 2 y}{t} d t$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 2}{t} d t$

Schritt 3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 2}{t} d t$

Schritt 3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{- 2}{t} d t$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} d y = - - \frac{2}{t} d t$

Schritt 3.7

Multipliziere $- - \frac{2}{t}$ .

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{y} d y = 1 \frac{2}{t} d t$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $\frac{2}{t}$ mit $1$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{t} d t$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{t} d t$

Schritt 4.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 4.3.2

Das Integral von $\frac{1}{t}$ nach $t$ ist $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = 2 \ln (| t |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| t |) = C$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\ln (| y |) - 2 \ln (| t |)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (| t |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| y |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

Schritt 5.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| t |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| y |) - \ln (t^{2}) = C$

Schritt 5.2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$

Schritt 5.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{t^{2}})} = e^{C}$

Schritt 5.4

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{t^{2}}$

Schritt 5.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$ um.

$\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$

Schritt 5.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $t^{2}$ .

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{2}$ .

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Schritt 5.5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

Schritt 5.5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{C} t^{2}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{C} t^{2}$ um.

$| y | = t^{2} e^{C}$

Schritt 5.5.4

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm t^{2} e^{C}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm t^{2} C$

Schritt 6.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C t^{2}$