Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + y} \cdot \frac{d y}{d x} = - x$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + y}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{1 + y} = - x$

Schritt 1.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $1 + y$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{1 + y} (1 + y) = - x (1 + y)$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y$ .

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Schritt 1.1.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{1 + y} (1 + y) = - x (1 + y)$

Schritt 1.1.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x (1 + y)$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Vereinfache $- x (1 + y)$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x \cdot 1 - x y$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x - x y$

Schritt 1.1.3.2.1.2.2

Stelle $- x$ und $- x y$ um.

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x y - x$

Schritt 1.1.4

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x y - x$ durch $\sqrt{1 + x^{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x y - x$ durch $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{- x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{- x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.4.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.3.1.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{x y}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.4.3.1.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{x y}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.3.2

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.3.3

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ als $1 + x^{2}$ um.

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Schritt 1.1.4.3.1.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.4.3.1.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.3.6.5

Vereinfache.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.5

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Schritt 1.1.4.3.1.1.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.4.3.1.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.6.2

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.6.3

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.6.6

Schreibe ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ als $1 + x^{2}$ um.

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Schritt 1.1.4.3.1.1.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.4.3.1.1.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.6.6.5

Vereinfache.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.4.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y \sqrt{1 + x^{2}} - x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.3.2.1

Faktorisiere $x \sqrt{1 + x^{2}}$ aus $- x y \sqrt{1 + x^{2}} - x \sqrt{1 + x^{2}}$ heraus.

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Schritt 1.1.4.3.2.1.1

Faktorisiere $x \sqrt{1 + x^{2}}$ aus $- x y \sqrt{1 + x^{2}}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) - x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.4.3.2.1.2

Faktorisiere $x \sqrt{1 + x^{2}}$ aus $- x \sqrt{1 + x^{2}}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) + x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1)}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.4.3.2.1.3

Faktorisiere $x \sqrt{1 + x^{2}}$ aus $x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) + x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y - 1)}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.4.3.2.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- y - 1)}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.4.3.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1.4.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y) - 1)}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.4.3.3.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y) - 1 (1))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.4.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y + 1))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.4.3.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.4.3.3.4.1

Schreibe $- (y + 1)$ als $- 1 (y + 1)$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 (y + 1))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.4.3.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(x \sqrt{1 + x^{2}}) (y + 1)}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (- \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1))$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y + 1} (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1))$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 1.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y + 1}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1))$

Schritt 1.4.2.2

Faktorisiere $y + 1$ aus $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1)$ heraus.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$

Schritt 1.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$

Schritt 1.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y + 1} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = y + 1$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = y + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 2.3.2.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{2}}$ als ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Bringe ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2

Multipliziere $u_{2}$ mit ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Mutltipliziere $u_{2}$ mit ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.5.2.2.1.1

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.5.3.1

Bringe ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.5.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ nach $u_{2}$ gleich $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe $- \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $- \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ um.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.7.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y + 1 |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y + 1 |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} = | y + 1 |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y + 1 | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ um.

$| y + 1 | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} - 1$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ als $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C} - 1$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 1$