Analysis Beispiele

${(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in ${(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2}$ durch ${(y \ln (x))}^{- 1}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in ${(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2}$ durch ${(y \ln (x))}^{- 1}$ .

$\frac{{(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x}}{{(y \ln (x))}^{- 1}} = \frac{{(\frac{x}{y + 1})}^{2}}{{(y \ln (x))}^{- 1}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(y \ln (x))}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x}}{{(y \ln (x))}^{- 1}} = \frac{{(\frac{x}{y + 1})}^{2}}{{(y \ln (x))}^{- 1}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(\frac{x}{y + 1})}^{2}}{{(y \ln (x))}^{- 1}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Bringe ${(y \ln (x))}^{- 1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2} (y \ln (x))$

Schritt 1.1.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{y + 1}$ an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} (y \ln (x))$

Schritt 1.1.3.3

Multipliziere $\frac{x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} (y \ln (x))$ .

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Schritt 1.1.3.3.1

Kombiniere $y$ und $\frac{x^{2}}{{(y + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} \ln (x)$

Schritt 1.1.3.3.2

Kombiniere $\frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} \ln (x)}{{(y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{{(y + 1)}^{2}} x^{2} \ln (x)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{{(y + 1)}^{2}}{y}$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} (\frac{y}{{(y + 1)}^{2}} x^{2} \ln (x))$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $\frac{y}{{(y + 1)}^{2}}$ und $x^{2}$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} (\frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} \ln (x))$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $\frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \cdot \frac{y x^{2} \ln (x)}{{(y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.4.3

Kombinieren.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2} (y x^{2} \ln (x))}{y {(y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(y + 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2} (y x^{2} \ln (x))}{y {(y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} \ln (x)}{y}$

Schritt 1.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} \ln (x)}{y}$

Schritt 1.4.5.2

Dividiere $x^{2} \ln (x)$ durch $1$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} \ln (x)$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} d y = x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Schreibe ${(y + 1)}^{2}$ als $(y + 1) (y + 1)$ um.

$\int \frac{(y + 1) (y + 1)}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{y (y + 1) + 1 (y + 1)}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2.2.5

Stelle $y$ und $1$ um.

$\int \frac{y \cdot y + 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2.2.6

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int \frac{y^{1} y + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2.2.7

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int \frac{y^{1} y^{1} + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{y^{1 + 1} + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2.2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.9.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{y^{2} + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2.2.9.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\int \frac{y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2.2.9.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\int \frac{y^{2} + y + y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2.2.9.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int \frac{y^{2} + y + y + 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2.2.10

Addiere $y$ und $y$ .

$\int \frac{y^{2} + 2 y + 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2.2.11

Dividiere $y^{2} + 2 y + 1$ durch $y$ .

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Schritt 2.2.11.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

Schritt 2.2.11.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$

Schritt 2.2.11.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

Schritt 2.2.11.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y^{2} + 0$

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

Schritt 2.2.11.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$

Schritt 2.2.11.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$

Schritt 2.2.11.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$

Schritt 2.2.11.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$
					+	$2 y$	+	$0$

Schritt 2.2.11.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 y + 0$

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$
					-	$2 y$	-	$0$

Schritt 2.2.11.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$
					-	$2 y$	-	$0$
							+	$1$

Schritt 2.2.11.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int y + 2 + \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2.2.12

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y d y + \int 2 d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2.2.13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2.2.14

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2.2.15

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2.2.16

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \int x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x)$

Schritt 2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 2.3.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Schritt 2.3.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Schritt 2.3.4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 2.3.4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 2.3.4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x)$

Schritt 2.3.4.2.2.5

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)$

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.6.1

Schreibe $\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5})$ als $\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Schritt 2.3.6.2.2

Kombiniere $\frac{\ln (x)}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Schritt 2.3.6.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{5}$

Schritt 2.3.6.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{5}$

Schritt 2.3.6.3

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C_{5}$

Schritt 2.3.6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{5}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C$