Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 2 x^{2} y = 0$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 2 x^{2}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 2 x^{2} d x}$

Schritt 1.2

Integriere $2 x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int x^{2} d x}$

Schritt 1.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ als $2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ um.

$e^{2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C}$

Schritt 1.2.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{\frac{2}{3} x^{3} + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\frac{2}{3} x^{3}}$

Schritt 1.4

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{3}$ .

$e^{\frac{2 x^{3}}{3}}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{2 x^{3}}{3}}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{2 x^{3}}{3}}$ .

$e^{\frac{2 x^{3}}{3}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{2 x^{3}}{3}} (2 x^{2} y) = e^{\frac{2 x^{3}}{3}} \cdot 0$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{\frac{2 x^{3}}{3}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{\frac{2 x^{3}}{3}} (x^{2} y) = e^{\frac{2 x^{3}}{3}} \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $e^{\frac{2 x^{3}}{3}}$ mit $0$ .

$e^{\frac{2 x^{3}}{3}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{\frac{2 x^{3}}{3}} (x^{2} y) = 0$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{2 x^{3}}{3}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{\frac{2 x^{3}}{3}} (x^{2} y) = 0$ um.

$e^{\frac{2 x^{3}}{3}} \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} y e^{\frac{2 x^{3}}{3}} = 0$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x^{3}}{3}} y] = 0$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x^{3}}{3}} y] d x = \int 0 d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{\frac{2 x^{3}}{3}} y = \int 0 d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$e^{\frac{2 x^{3}}{3}} y = 0 + C$

Schritt 6.2

Addiere $0$ und $C$ .

$e^{\frac{2 x^{3}}{3}} y = C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{2 x^{3}}{3}} y = C$ durch $e^{\frac{2 x^{3}}{3}}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{2 x^{3}}{3}} y = C$ durch $e^{\frac{2 x^{3}}{3}}$ .

$\frac{e^{\frac{2 x^{3}}{3}} y}{e^{\frac{2 x^{3}}{3}}} = \frac{C}{e^{\frac{2 x^{3}}{3}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\frac{2 x^{3}}{3}}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{\frac{2 x^{3}}{3}} y}{e^{\frac{2 x^{3}}{3}}} = \frac{C}{e^{\frac{2 x^{3}}{3}}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{2 x^{3}}{3}}}$